f*******e
发帖数: 65 | 1 现代控制理论里面经常出现exp(A*t)这样的表达式，其中A是一个方阵，t是时间，我死
活也想不通为什么可以把一个矩阵放在次方项上。我过问我周围的同学，他们都说书上
这样写的就这样用呗，能做题就行。谁能告诉我为什么？我想了很久觉得可以这样理解
：矩阵是表示着一种映射关系，也就是说矩阵是一个函数，既然我可以把函数f=x^2放在
次方项上，为什么不能把矩阵放在次方项上？虽然这样想可以在一定程度上解释我的困
惑，但是心里还是觉得怪怪的。请问我这样理解这个问题对不对？万分谢谢！ |
x*****d
发帖数: 427 | 2 用指数函数的幂级数定义
放在
【在 f*******e 的大作中提到】
: 现代控制理论里面经常出现exp(A*t)这样的表达式，其中A是一个方阵，t是时间，我死
: 活也想不通为什么可以把一个矩阵放在次方项上。我过问我周围的同学，他们都说书上
: 这样写的就这样用呗，能做题就行。谁能告诉我为什么？我想了很久觉得可以这样理解
: ：矩阵是表示着一种映射关系，也就是说矩阵是一个函数，既然我可以把函数f=x^2放在
: 次方项上，为什么不能把矩阵放在次方项上？虽然这样想可以在一定程度上解释我的困
: 惑，但是心里还是觉得怪怪的。请问我这样理解这个问题对不对？万分谢谢！
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f*******e
发帖数: 65 | 3 对，定义是这样定义的。有没有再本质一点的理解？可是你在学函数级数展开的时候会
想过可以把矩阵代进去吗？我觉得第一个想到这样做的人很牛。还是谢谢你的回贴！
【在 x*****d 的大作中提到】
: 用指数函数的幂级数定义
:
: 放在
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x*****d
发帖数: 427 | 4 矩阵是有限维的线性算子，这个幂级数的定义已经
是最本质的了。幂级数还不够 “elementary”吗？
更加不简单的理解也有很多，可以查 “谱分解”，
“算子半群” 或者 “李群指数映射”
spectral decomposition
semigroup of operators
exponential map
【在 f*******e 的大作中提到】
: 对，定义是这样定义的。有没有再本质一点的理解？可是你在学函数级数展开的时候会
: 想过可以把矩阵代进去吗？我觉得第一个想到这样做的人很牛。还是谢谢你的回贴！
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g****t
发帖数: 31659 | 5 按照指数函数是由微分方程定义的最容易理解。
【在 x*****d 的大作中提到】
: 用指数函数的幂级数定义
:
: 放在
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c*******h
发帖数: 1096 | 6 给你一道习题，证明这个级数是收敛的
【在 f*******e 的大作中提到】
: 对，定义是这样定义的。有没有再本质一点的理解？可是你在学函数级数展开的时候会
: 想过可以把矩阵代进去吗？我觉得第一个想到这样做的人很牛。还是谢谢你的回贴！
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f*******e
发帖数: 65 | 7 谢谢！把矩阵理解成一个算子对我理解很有帮助！说实话我对算子这个概念也不是很清
楚。算子和函数有什么区别？
【在 x*****d 的大作中提到】
: 矩阵是有限维的线性算子，这个幂级数的定义已经
: 是最本质的了。幂级数还不够 “elementary”吗？
: 更加不简单的理解也有很多，可以查 “谱分解”，
: “算子半群” 或者 “李群指数映射”
: spectral decomposition
: semigroup of operators
: exponential map
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g****t
发帖数: 31659 | 8 Bourbaki的书里面指数函数是微分方程定义的吧。
x'=x定义出exp函数。
标量微分方程解x'=x存在是用Picard iteration方法证明的。
所以推广到x'=Ax我想是比较自然的想法。
但往矩阵推广的严格证明其实还是挺麻烦的，
一般的微分方程课本上很多证明都有漏掉环节。
矩阵是有限维的线性算子，这个幂级数的定义已经
是最本质的了。幂级数还不够 “elementary”吗？
更加不简单的理解也有很多，可以查 “谱分解”，
“算子半群” 或者 “李群指数映射”
spectral decomposition
semigroup of operators
exponential map
【在 x*****d 的大作中提到】
: 矩阵是有限维的线性算子，这个幂级数的定义已经
: 是最本质的了。幂级数还不够 “elementary”吗？
: 更加不简单的理解也有很多，可以查 “谱分解”，
: “算子半群” 或者 “李群指数映射”
: spectral decomposition
: semigroup of operators
: exponential map
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g****t
发帖数: 31659 | 9 证明exp(At)收敛并不简单。
如果事先只学过单变量微积分，90% 的人我看证明不出来。
x'=Ax的通解啥的，是高斯之后才彻底搞清楚的吧。
【在 c*******h 的大作中提到】
: 给你一道习题，证明这个级数是收敛的
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x*****d
发帖数: 427 | 10 学过线性代数就行了，都用不着微积分
【在 g****t 的大作中提到】
: 证明exp(At)收敛并不简单。
: 如果事先只学过单变量微积分，90% 的人我看证明不出来。
: x'=Ax的通解啥的，是高斯之后才彻底搞清楚的吧。
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D*******a
发帖数: 3688 | 11 我记得当时老师说exp(At)就是用微分方程定义的，是个符号
只不过最后“碰巧”跟标量函数exp(x)的特性一致
【在 g****t 的大作中提到】
: Bourbaki的书里面指数函数是微分方程定义的吧。
: x'=x定义出exp函数。
: 标量微分方程解x'=x存在是用Picard iteration方法证明的。
: 所以推广到x'=Ax我想是比较自然的想法。
: 但往矩阵推广的严格证明其实还是挺麻烦的，
: 一般的微分方程课本上很多证明都有漏掉环节。
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: 矩阵是有限维的线性算子，这个幂级数的定义已经
: 是最本质的了。幂级数还不够 “elementary”吗？
: 更加不简单的理解也有很多，可以查 “谱分解”，
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c*******h
发帖数: 1096 | 12 级数收敛不就是微积分么。。。当然主要思路还是在线性代数上
【在 x*****d 的大作中提到】
: 学过线性代数就行了，都用不着微积分
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x*****d
发帖数: 427 | 13 这个级数本质上只有有限项非零
【在 c*******h 的大作中提到】
: 级数收敛不就是微积分么。。。当然主要思路还是在线性代数上
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c*******h
发帖数: 1096 | 14 为什么？
【在 x*****d 的大作中提到】
: 这个级数本质上只有有限项非零
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x*****d
发帖数: 427 | 15 用 Jordan canonical form 带进去看看
【在 c*******h 的大作中提到】
: 为什么？
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c*******h
发帖数: 1096 | 16 我也是用约当分解来做的。
约当块乘多少次都是上三角的，为什么会有有限个非零项？
【在 x*****d 的大作中提到】
: 用 Jordan canonical form 带进去看看
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x*****d
发帖数: 427 | 17 一个约当块写成两个互相交换的矩阵的和 aI + B
对于指数函数的幂级数，代数上能证明, 如果 A, B 可换，
exp(A+B) = exp(A)exp(B), 不需要收敛性。
这样 exp(aI + B) = e^a exp(B), 而 B 是幂零的。
【在 c*******h 的大作中提到】
: 我也是用约当分解来做的。
: 约当块乘多少次都是上三角的，为什么会有有限个非零项？
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a***g
发帖数: 2761 | 18 微分方程这块不是很熟悉咯
不过你觉得要是能从算子这个角度看比较简便
那么我小卖弄一下
指数函数记做e
矩阵记做A
那么这个形式exp（A）实际上本身是一个量不要只看做一个函数上得来的
它也许可以看做[e,A]，这是一个作用
exp（A）＝[e，A]可以被看做e(A), 也可以被看做A(e)
e和A不严格的讲就可以当算子看
算子的本身一个好处就是作用的双方都可以看成是一样地位的
那么在作用[ , ]之下把exp（A）当作A(e)看
不知道lz是不是看着舒服点
其实lz总是把A的地位放在一个函数的位置上
我这么想的
所以一时不习惯吧
我这个解释很牵强也不严格
只是希望lz能看一下扭过这个劲来
不再把一些函数什么看的太特殊
关键是理解一个意思
这就习惯了
至于本质的解释ls几个说的都不错吧
其实方程这块都基本忘光了
hoho
【在 f*******e 的大作中提到】
: 谢谢！把矩阵理解成一个算子对我理解很有帮助！说实话我对算子这个概念也不是很清
: 楚。算子和函数有什么区别？
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c*******h
发帖数: 1096 | 19 这跟C语言里面 a[6] 和 6[a] 是一样的异曲同工啊。。。
【在 a***g 的大作中提到】
: 微分方程这块不是很熟悉咯
: 不过你觉得要是能从算子这个角度看比较简便
: 那么我小卖弄一下
: 指数函数记做e
: 矩阵记做A
: 那么这个形式exp（A）实际上本身是一个量不要只看做一个函数上得来的
: 它也许可以看做[e,A]，这是一个作用
: exp（A）＝[e，A]可以被看做e(A), 也可以被看做A(e)
: e和A不严格的讲就可以当算子看
: 算子的本身一个好处就是作用的双方都可以看成是一样地位的
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c*******h
发帖数: 1096 | 20 哦，这样证也行
【在 x*****d 的大作中提到】
: 一个约当块写成两个互相交换的矩阵的和 aI + B
: 对于指数函数的幂级数，代数上能证明, 如果 A, B 可换，
: exp(A+B) = exp(A)exp(B), 不需要收敛性。
: 这样 exp(aI + B) = e^a exp(B), 而 B 是幂零的。
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x*****d
发帖数: 427 | 21 不好意思，把事情说复杂了，
直接收集 exp(aI + B) 里 B 的系数就行吧。
不用证明更一般的exp(A+B) 的情况
【在 c*******h 的大作中提到】
: 哦，这样证也行
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c*******h
发帖数: 1096 | 22 还是要用到aI和B交换的性质的
exp(B)的上三角的每个项也挺有意思的，都可以显式地写出来
【在 x*****d 的大作中提到】
: 不好意思，把事情说复杂了，
: 直接收集 exp(aI + B) 里 B 的系数就行吧。
: 不用证明更一般的exp(A+B) 的情况
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L***n
发帖数: 6727 | 23 哪个级数？\sum (At)^k/k! ?
【在 x*****d 的大作中提到】
: 这个级数本质上只有有限项非零
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x*****d
发帖数: 427 | 24 嗯. 这里 aI 和一个跟 B 交换的矩阵 A 的效果一样，
形式幂级数的指数运算公式还是一样证明。
【在 c*******h 的大作中提到】
: 还是要用到aI和B交换的性质的
: exp(B)的上三角的每个项也挺有意思的，都可以显式地写出来
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l********e
发帖数: 3632 | |
L***n
发帖数: 6727 | 26 还是没明白，为什么exp(At)级数展开只有有限项非零？
【在 L***n 的大作中提到】
: 哪个级数？\sum (At)^k/k! ?
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g****t
发帖数: 31659 | 27 指数函数的定义需要微积分的吧？
学过线性代数就行了，都用不着微积分
【在 x*****d 的大作中提到】
: 学过线性代数就行了，都用不着微积分
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x*****d
发帖数: 427 | 28 依赖于 “项” 的定义，展开 A = aI + B
的次方时，其实只需合并 B^n 的同类项，
因为 aI 的作用只是数乘。
而 B 的某个次方是零。
【在 L***n 的大作中提到】
: 还是没明白，为什么exp(At)级数展开只有有限项非零？
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L***n
发帖数: 6727 | 29 这和级数的收敛有什么关系？这只是在计算A^k吧
【在 x*****d 的大作中提到】
: 依赖于 “项” 的定义，展开 A = aI + B
: 的次方时，其实只需合并 B^n 的同类项，
: 因为 aI 的作用只是数乘。
: 而 B 的某个次方是零。
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x*****d
发帖数: 427 | 30 每个 A^k 里只含一个 B^n, 把这个跟 n, k 相关的系数对所有 k 求和，
就得到整个级数里 B^n 的系数。你动手算算吧
【在 L***n 的大作中提到】
: 这和级数的收敛有什么关系？这只是在计算A^k吧
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L***n
发帖数: 6727 | 31 恩，首先这不是级数有限项非零，其次似乎没必要这么复杂，A只是一个有
界线性算子，估计banach空间里的Cauchy序列部分和收敛即可...
【在 x*****d 的大作中提到】
: 每个 A^k 里只含一个 B^n, 把这个跟 n, k 相关的系数对所有 k 求和，
: 就得到整个级数里 B^n 的系数。你动手算算吧
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x******i
发帖数: 3022 | 32
说个更通俗点的解释，如果A是n*n的矩阵，
那A^(n)就可以用1,A,A^2,...,A^(n-1)表示。
所以就剩下有限项了。
【在 L***n 的大作中提到】
: 还是没明白，为什么exp(At)级数展开只有有限项非零？
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x*****d
发帖数: 427 | 33 我早说了，是 “本质上” 只有有限项
【在 L***n 的大作中提到】
: 恩，首先这不是级数有限项非零，其次似乎没必要这么复杂，A只是一个有
: 界线性算子，估计banach空间里的Cauchy序列部分和收敛即可...
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g****t
发帖数: 31659 | 34 有种证明方法好像是:
exp(I at+Nt),N是幂零的，那么
exp(I at+Nt)=exp(I at)*f(t),f(t)是个有限次的多项式。
其实最简单的证明是
|exp(A)|
所以exp(A)的级数绝对收敛。
不过这要先把线性映射的模说清楚。
我早说了，是 “本质上” 只有有限项
【在 x*****d 的大作中提到】
: 我早说了，是 “本质上” 只有有限项
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H****h
发帖数: 1037 | 35 如果不能先证明收敛和基本运算规则，这个本质也不存在。
【在 x*****d 的大作中提到】
: 我早说了，是 “本质上” 只有有限项
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H****h
发帖数: 1037 | 36 不是的。
【在 x******i 的大作中提到】
:
: 说个更通俗点的解释，如果A是n*n的矩阵，
: 那A^(n)就可以用1,A,A^2,...,A^(n-1)表示。
: 所以就剩下有限项了。
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c*******h
发帖数: 1096 | 37
以上就是xiphoid说的有限项非零
这用什么范数？
【在 g****t 的大作中提到】
: 有种证明方法好像是:
: exp(I at+Nt),N是幂零的，那么
: exp(I at+Nt)=exp(I at)*f(t),f(t)是个有限次的多项式。
: 其实最简单的证明是
: |exp(A)|: 所以exp(A)的级数绝对收敛。
: 不过这要先把线性映射的模说清楚。
:
: 我早说了，是 “本质上” 只有有限项
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c*******h
发帖数: 1096 | 38 这类似我证明的思路
约当分解后约当块做幂乘，规律很明显
收敛是element-by-element的，没用到范数（虽然也没啥区别）
【在 L***n 的大作中提到】
: 恩，首先这不是级数有限项非零，其次似乎没必要这么复杂，A只是一个有
: 界线性算子，估计banach空间里的Cauchy序列部分和收敛即可...
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g****t
发帖数: 31659 | 39 什么矩阵的范数都可以。
以上就是xiphoid说的有限项非零
这用什么范数？
【在 c*******h 的大作中提到】
: 这类似我证明的思路
: 约当分解后约当块做幂乘，规律很明显
: 收敛是element-by-element的，没用到范数（虽然也没啥区别）
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c*******h
发帖数: 1096 | 40 那你得证一下给我看了。。。对我来说不是很obvious
【在 g****t 的大作中提到】
: 什么矩阵的范数都可以。
:
: 以上就是xiphoid说的有限项非零
: 这用什么范数？
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g****t
发帖数: 31659 | 41 |I+A+A^2/2+...|<=I+|A|+|A^2/2|+...对所有的模都成立。
所以exp(A)是绝对收敛的。
如果你要详细证明，只需要证明不等式左右两边都是Cauchy sequence就行了。
那你得证一下给我看了。。。对我来说不是很obvious
【在 c*******h 的大作中提到】
: 那你得证一下给我看了。。。对我来说不是很obvious
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x*****d
发帖数: 427 | 42 你是说有 rearrangement 的问题？
【在 H****h 的大作中提到】
: 如果不能先证明收敛和基本运算规则，这个本质也不存在。
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o****e
发帖数: 92 | 43 no
试考虑n维线性空间上的旋转变化
【在 x******i 的大作中提到】
:
: 说个更通俗点的解释，如果A是n*n的矩阵，
: 那A^(n)就可以用1,A,A^2,...,A^(n-1)表示。
: 所以就剩下有限项了。
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c*******h
发帖数: 1096 | 44 明白了。
comment一句，如果碰上没有|A^k|<=|A|^k这个性质的范数还真不好弄
【在 g****t 的大作中提到】
: |I+A+A^2/2+...|<=I+|A|+|A^2/2|+...对所有的模都成立。
: 所以exp(A)是绝对收敛的。
: 如果你要详细证明，只需要证明不等式左右两边都是Cauchy sequence就行了。
:
: 那你得证一下给我看了。。。对我来说不是很obvious
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o****e
发帖数: 92 | 45 这个性质哪里来的？不符合它的情况很多
证明用到的是范数的 subadditivity
【在 c*******h 的大作中提到】
: 明白了。
: comment一句，如果碰上没有|A^k|<=|A|^k这个性质的范数还真不好弄
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c*******h
发帖数: 1096 | 46
举几个例子看看？我只知道 max-norm，不过前面乘个n就能补救了。还有啥大众化的
例子不？
【在 o****e 的大作中提到】
: 这个性质哪里来的？不符合它的情况很多
: 证明用到的是范数的 subadditivity
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H****h
发帖数: 1037 | 47 你要先证明级数收敛，再证明了 exp(A^{-1}*B*A)=A^{-1}*exp(B)*A，
才能有若当标准型下的简化。
【在 x*****d 的大作中提到】
: 你是说有 rearrangement 的问题？
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x*****d
发帖数: 427 | 48 先定义若当块的指数，再用这个式子定义一般矩阵的指数,
然后验证这个定义跟各种运算相容 :)
【在 H****h 的大作中提到】
: 你要先证明级数收敛，再证明了 exp(A^{-1}*B*A)=A^{-1}*exp(B)*A，
: 才能有若当标准型下的简化。
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H****h
发帖数: 1037 | 49 也是一条路。不过验证定理比较麻烦，如果想避开微积分的话。
其实即使实数的指数函数也是用极限定义的。
【在 x*****d 的大作中提到】
: 先定义若当块的指数，再用这个式子定义一般矩阵的指数,
: 然后验证这个定义跟各种运算相容 :)
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x*****d
发帖数: 427 | 50 一元微积分还是不可避免的
【在 H****h 的大作中提到】
: 也是一条路。不过验证定理比较麻烦，如果想避开微积分的话。
: 其实即使实数的指数函数也是用极限定义的。
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c*******h
发帖数: 1096 | 51 思路是 exp(矩阵) = exp(A^{-1}*B*A) = A^{-1}*级数*A = A^{-1}*有限*A = 有限
exp(A^{-1}*B*A) = A^{-1}*exp(B)*A 是副产品，证明中不需要用到这个
【在 H****h 的大作中提到】
: 你要先证明级数收敛，再证明了 exp(A^{-1}*B*A)=A^{-1}*exp(B)*A，
: 才能有若当标准型下的简化。
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L***n
发帖数: 6727 | 52 可你给的方法非常不本质，实际上只对矩阵适用...而且学数学的要是这么
用术语，就没法交流了，当然要是你是学工程的那没什么...
【在 x*****d 的大作中提到】
: 我早说了，是 “本质上” 只有有限项
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L***n
发帖数: 6727 | 53 doesn't matter, whatever norm
【在 c*******h 的大作中提到】
: 思路是 exp(矩阵) = exp(A^{-1}*B*A) = A^{-1}*级数*A = A^{-1}*有限*A = 有限
: exp(A^{-1}*B*A) = A^{-1}*exp(B)*A 是副产品，证明中不需要用到这个
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L***n
发帖数: 6727 | 54 当然有区别，Banach空间的算子可以是广泛的多的概念，完全不局限在矩阵上，
这个算子半群是非线性发展方程里基本概念，A完全不必是传统意义上的线性算子了
【在 c*******h 的大作中提到】
: 这类似我证明的思路
: 约当分解后约当块做幂乘，规律很明显
: 收敛是element-by-element的，没用到范数（虽然也没啥区别）
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L***n
发帖数: 6727 | 55 对有界线性算子这是trivial的
【在 c*******h 的大作中提到】
: 明白了。
: comment一句，如果碰上没有|A^k|<=|A|^k这个性质的范数还真不好弄
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c*******h
发帖数: 1096 | 56 都说了不是什么范数都可以的
只是由向量空间的范数引导的矩阵范数使得矩阵称得上有界算子而已
【在 L***n 的大作中提到】
: 对有界线性算子这是trivial的
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c*******h
发帖数: 1096 | 57 在算子理论里怎么证那个序列是柯西序列？
【在 L***n 的大作中提到】
: 当然有区别，Banach空间的算子可以是广泛的多的概念，完全不局限在矩阵上，
: 这个算子半群是非线性发展方程里基本概念，A完全不必是传统意义上的线性算子了
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L***n
发帖数: 6727 | 58 \sum_k |a|^k/k! 绝对收敛
【在 c*******h 的大作中提到】
: 在算子理论里怎么证那个序列是柯西序列？
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L***n
发帖数: 6727 | 59 as long as the norm makes the set of matrices a complete banach space,
I don't see any essential difference
【在 c*******h 的大作中提到】
: 都说了不是什么范数都可以的
: 只是由向量空间的范数引导的矩阵范数使得矩阵称得上有界算子而已
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H****h
发帖数: 1037 | 60 你这是一种定义的方法。前面已经讨论过了。
【在 c*******h 的大作中提到】
: 思路是 exp(矩阵) = exp(A^{-1}*B*A) = A^{-1}*级数*A = A^{-1}*有限*A = 有限
: exp(A^{-1}*B*A) = A^{-1}*exp(B)*A 是副产品，证明中不需要用到这个
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c*******h
发帖数: 1096 | 61
such norm has to be submultiplicative.
some previous posts of this thread discussed this.
【在 L***n 的大作中提到】
: as long as the norm makes the set of matrices a complete banach space,
: I don't see any essential difference
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c*******h
发帖数: 1096 | 62 难道xiphoid说的不是这种方法？那可能我误解了
【在 H****h 的大作中提到】
: 你这是一种定义的方法。前面已经讨论过了。
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H****h
发帖数: 1037 | 63 就是这种方法。其实也不见得简单，如果把一些定理的证明考虑进去。
【在 c*******h 的大作中提到】
: 难道xiphoid说的不是这种方法？那可能我误解了
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L***n
发帖数: 6727 | 64 by the definitation of the norm of A
|A^2 x| \leq \|A\| |Ax| \leq \|A\|^2 |x|
thus \|A^2\| \leq \|A\|^2
same arguent goes to A^k
I don't see anything special here... of coz if not refrained to bounded
linear operators, you may need the submultiplicativity which is true
in a lot of cases anyway...
【在 c*******h 的大作中提到】
: 难道xiphoid说的不是这种方法？那可能我误解了
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c*******h
发帖数: 1096 | 65 the special thing comes from the very beginning where you assume
|Ay| \leq \|A\|*|y|
this inequality may not be true. For example, define the norm of
a matrix A as max_{ij}|a_{ij}|, and let A be the 2-by-2 matrix of
all ones. Also consider the vector as a special case of matrix,
and let y = [1 2]'. Then A has norm 1, y has norm 2. However, Ay
has norm 3.
your assumed inequality is true iff the norm defined for matrix and
that defined for vector are compatible. when people talk about
operators, t
【在 L***n 的大作中提到】
: by the definitation of the norm of A
: |A^2 x| \leq \|A\| |Ax| \leq \|A\|^2 |x|
: thus \|A^2\| \leq \|A\|^2
: same arguent goes to A^k
: I don't see anything special here... of coz if not refrained to bounded
: linear operators, you may need the submultiplicativity which is true
: in a lot of cases anyway...
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L***n
发帖数: 6727 | 66 Yes I agree the norm has to be the one that has this submultiplicativity
property if that's what you mean by "special" but as I said, for a real
or complex matrix, this is just trivial. the point of this problem is
considering the A's as elements in a complete banach space, and in
this point of view, it is a pretty straitforward thing.
btw I belive there are more than one way to define a submultiplicative
norm on a matrix, at least as many as ways you can define a norm on
the R^n vector space
【在 c*******h 的大作中提到】
: the special thing comes from the very beginning where you assume
: |Ay| \leq \|A\|*|y|
: this inequality may not be true. For example, define the norm of
: a matrix A as max_{ij}|a_{ij}|, and let A be the 2-by-2 matrix of
: all ones. Also consider the vector as a special case of matrix,
: and let y = [1 2]'. Then A has norm 1, y has norm 2. However, Ay
: has norm 3.
: your assumed inequality is true iff the norm defined for matrix and
: that defined for vector are compatible. when people talk about
: operators, t
|
c*******h
发帖数: 1096 | 67 yes we both agree that we can consider a matrix as an element
in a banach space. the pre-requisit is we use a proper matrix
norm. indeed, many norms can do. i just don't agree that *any*
norm will qualify.
i am now at the point that i know that submultiplicative norms
will quality, but i am not sure if the inverse is true.
【在 L***n 的大作中提到】
: Yes I agree the norm has to be the one that has this submultiplicativity
: property if that's what you mean by "special" but as I said, for a real
: or complex matrix, this is just trivial. the point of this problem is
: considering the A's as elements in a complete banach space, and in
: this point of view, it is a pretty straitforward thing.
: btw I belive there are more than one way to define a submultiplicative
: norm on a matrix, at least as many as ways you can define a norm on
: the R^n vector space
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x*****d
发帖数: 427 | 68 对我来说，越初等的解释越本质
【在 L***n 的大作中提到】
: 可你给的方法非常不本质，实际上只对矩阵适用...而且学数学的要是这么
: 用术语，就没法交流了，当然要是你是学工程的那没什么...
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a***g
发帖数: 2761 | 69 ？？？
人家就是说的算子范数啊
没错吧
这有界性是和算子范数的定义无关吧
只看像和原像的范数定义就能确定是否算子为有界的吧
就用欧式空间的l2型范数定义不就行了
这个有界性也是显然的
那个不等式也是显然的
【在 c*******h 的大作中提到】
: 都说了不是什么范数都可以的
: 只是由向量空间的范数引导的矩阵范数使得矩阵称得上有界算子而已
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g****t
发帖数: 31659 | 70 矩阵的模我默认定义必须满足|AB|<=|A||B|。
其他不满足的常用模我都写作 XX模 。
参考:
http://mathworld.wolfram.com/MatrixNorm.html
明白了。
comment一句，如果碰上没有|A^k|<=|A|^k这个性质的范数还真不好弄
【在 c*******h 的大作中提到】
: 明白了。
: comment一句，如果碰上没有|A^k|<=|A|^k这个性质的范数还真不好弄
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g****t
发帖数: 31659 | 71 不满足|AB|<=|A||B|,则构不成巴拿赫代数。
有了这条的帮助，指数函数，三角函数，等等等都可以推广到矩阵的情况。
http://en.wikipedia.org/wiki/Banach_algebra
这个性质哪里来的？不符合它的情况很多
证明用到的是范数的 subadditivity
【在 o****e 的大作中提到】
: 这个性质哪里来的？不符合它的情况很多
: 证明用到的是范数的 subadditivity
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L***n
发帖数: 6727 | 72 对我来说，那是个最笨的解法，个人看法
【在 x*****d 的大作中提到】
: 对我来说，越初等的解释越本质
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x*****d
发帖数: 427 | 73 那你以前还不知道？
【在 L***n 的大作中提到】
: 对我来说，那是个最笨的解法，个人看法
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L***n
发帖数: 6727 | 74 恩，在笨拙程度上，确实超出了我的想象力，这么dry这么technical这么毫无insight
的做法来处理这么一个简单问题在我看来确实设立了bad math的新标准。
【在 x*****d 的大作中提到】
: 那你以前还不知道？
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