a*****g
发帖数: 19398 | 1 一道围棋数学题（图）
6个围棋棋子放在棋罐盖子上，刚好形成如下形状（参看后面附图）。
假设盖子、棋子都简化成平面的圆，并且盖子半径是1。
求棋子直径。（注意条件有的是直径，有的是半径。）
【题目还能变形：一个圆形贝壳可以切割出6个蛤碁石棋子。
贝壳半径是1，那么棋子直径多少？】
背景知识：
围棋起源于中国，是修身养性的良品。棋子亮泽圆润，是指尖的精灵。但世界上最好的
围棋棋子，却产自日本，白子由天然贝壳打磨而成，做工细腻，称为蛤碁石，蛤意为“
贝”；碁意为“棋”，蛤碁石就是贝壳棋子的意思。蛤碁石严格来讲不包括黑子，仅指
白子，围棋的品级也是按照白子来区分。
在满足对弈的主要使用功能时，蛤碁石还给棋手带来视角上、手感上、对弈上、音色上
的综合美感，使其享受最大乐趣，在日本围棋界被誉称为“梦幻之魂”。
日向市在明治四十一年发现了精美的蛤贝，并开始利用它制作蛤碁石，至今日向市成为
蛤碁石围棋的唯一产地。但在三十年前由于日向市的蛤贝资源已日渐枯竭，现转为使用
墨西哥蛤贝石资源制作蛤碁石。 |
B******1
发帖数: 9094 | |
a*****e
发帖数: 4936 | 3 给小学生的题目？太难了。中学还可以。
【在 a*****g 的大作中提到】
: 一道围棋数学题（图）
: 6个围棋棋子放在棋罐盖子上，刚好形成如下形状（参看后面附图）。
: 假设盖子、棋子都简化成平面的圆，并且盖子半径是1。
: 求棋子直径。（注意条件有的是直径，有的是半径。）
: 【题目还能变形：一个圆形贝壳可以切割出6个蛤碁石棋子。
: 贝壳半径是1，那么棋子直径多少？】
: 背景知识：
: 围棋起源于中国，是修身养性的良品。棋子亮泽圆润，是指尖的精灵。但世界上最好的
: 围棋棋子，却产自日本，白子由天然贝壳打磨而成，做工细腻，称为蛤碁石，蛤意为“
: 贝”；碁意为“棋”，蛤碁石就是贝壳棋子的意思。蛤碁石严格来讲不包括黑子，仅指
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q****i
发帖数: 6923 | 4 这棋罐盖子可真小。倒棋子还挺费劲。
【在 a*****g 的大作中提到】
: 一道围棋数学题（图）
: 6个围棋棋子放在棋罐盖子上，刚好形成如下形状（参看后面附图）。
: 假设盖子、棋子都简化成平面的圆，并且盖子半径是1。
: 求棋子直径。（注意条件有的是直径，有的是半径。）
: 【题目还能变形：一个圆形贝壳可以切割出6个蛤碁石棋子。
: 贝壳半径是1，那么棋子直径多少？】
: 背景知识：
: 围棋起源于中国，是修身养性的良品。棋子亮泽圆润，是指尖的精灵。但世界上最好的
: 围棋棋子，却产自日本，白子由天然贝壳打磨而成，做工细腻，称为蛤碁石，蛤意为“
: 贝”；碁意为“棋”，蛤碁石就是贝壳棋子的意思。蛤碁石严格来讲不包括黑子，仅指
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a*****g
发帖数: 19398 | 5 我特意去看了看我的盖子
内圈放6个棋子还真差不多的
好的
为“
仅指
接受一切废墟一样；他孤寂，大自然安慰他；如同大自然安慰一切孤寂一样；大自然帮
助一切被遗弃的人和物；凡是一切都缺乏的地方；大自然就把自己的一切来填补；
是冥冥世界极度宽容的表现。
【在 q****i 的大作中提到】
: 这棋罐盖子可真小。倒棋子还挺费劲。
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q****i
发帖数: 6923 | 6 天，你太敬业了。iphone真好。
【在 a*****g 的大作中提到】
: 我特意去看了看我的盖子
: 内圈放6个棋子还真差不多的
:
: 好的
: 为“
: 仅指
: 接受一切废墟一样；他孤寂，大自然安慰他；如同大自然安慰一切孤寂一样；大自然帮
: 助一切被遗弃的人和物；凡是一切都缺乏的地方；大自然就把自己的一切来填补；
: 是冥冥世界极度宽容的表现。
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d***a
发帖数: 13752 | 7 很有意思的题目，可以用三角形公式来解
如附图画一个三角形，看中间靠右的那个小三角形
(R-r)^2 = (2r)^2+r^2 = 5r^2, R= 1
1-r = sqrt(5)*r
(sqrt(5)+1)*r = 1
r = 1/(1+sqrt(5)) = 0.3090 |
a*****g
发帖数: 19398 | 8 让算的是棋子的直径 ，因为这个数是有特殊含义的
【在 d***a 的大作中提到】
: 很有意思的题目，可以用三角形公式来解
: 如附图画一个三角形，看中间靠右的那个小三角形
: (R-r)^2 = (2r)^2+r^2 = 5r^2, R= 1
: 1-r = sqrt(5)*r
: (sqrt(5)+1)*r = 1
: r = 1/(1+sqrt(5)) = 0.3090
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d***a
发帖数: 13752 | 9 直径是半径的两倍，0.3090*2 = 0.6180，黄金分割比。
【在 a*****g 的大作中提到】
: 让算的是棋子的直径 ，因为这个数是有特殊含义的
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d*****n
发帖数: 494 | |
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b*******r
发帖数: 6655 | |
u**********l
发帖数: 2036 | 12 勾股定理啥时候学的？ 这个题没啥难度啊
【在 a*****g 的大作中提到】
: 一道围棋数学题（图）
: 6个围棋棋子放在棋罐盖子上，刚好形成如下形状（参看后面附图）。
: 假设盖子、棋子都简化成平面的圆，并且盖子半径是1。
: 求棋子直径。（注意条件有的是直径，有的是半径。）
: 【题目还能变形：一个圆形贝壳可以切割出6个蛤碁石棋子。
: 贝壳半径是1，那么棋子直径多少？】
: 背景知识：
: 围棋起源于中国，是修身养性的良品。棋子亮泽圆润，是指尖的精灵。但世界上最好的
: 围棋棋子，却产自日本，白子由天然贝壳打磨而成，做工细腻，称为蛤碁石，蛤意为“
: 贝”；碁意为“棋”，蛤碁石就是贝壳棋子的意思。蛤碁石严格来讲不包括黑子，仅指
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v*****u
发帖数: 1796 | 13 怎么保证是在一条直线上的？
【在 d***a 的大作中提到】
: 很有意思的题目，可以用三角形公式来解
: 如附图画一个三角形，看中间靠右的那个小三角形
: (R-r)^2 = (2r)^2+r^2 = 5r^2, R= 1
: 1-r = sqrt(5)*r
: (sqrt(5)+1)*r = 1
: r = 1/(1+sqrt(5)) = 0.3090
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a*****g
发帖数: 19398 | 14 你这个问题是核心
【在 v*****u 的大作中提到】
: 怎么保证是在一条直线上的？
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a*****g
发帖数: 19398 | 15 其实呢，据我说知，这个地球上就数我糟蹋围棋的花样最多了。
我昨天是这样糟蹋的————
今天搞了个新的围棋棋具游戏——（以棋子的边缘为支点）竖转棋子，用以训练孩子的
精细肌肉群。可以比一比谁能转得久，也可以比一比谁能同时转的棋子最多。玩下来，
学生们觉得日本棋子比较好转，可以同时转5到6个棋子。又乘机又讲解了“对称”的数
学概念。我们就是要让#围棋数学#无处不在呢。
【在 b*******r 的大作中提到】
: 我觉得你把围棋当几何图形是糟蹋围棋
|
d***a
发帖数: 13752 | 16 对称性：放一个小圆在大圆中，小圆与大圆内切，那么大圆圆心，
小圆圆心，大小圆的切点，这三点必然在一条直线上。
这题目很有意思，但不难，找到那个三角形是关键。
是初一几何的内容吧(?)。
【在 v*****u 的大作中提到】
: 怎么保证是在一条直线上的？
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h**s
发帖数: 19 | |
a*****g
发帖数: 19398 | 18 最早看到的时候，大圆是半圆。那样难度要大一些，不容易看到那个三角形了。
【在 d***a 的大作中提到】
: 对称性：放一个小圆在大圆中，小圆与大圆内切，那么大圆圆心，
: 小圆圆心，大小圆的切点，这三点必然在一条直线上。
: 这题目很有意思，但不难，找到那个三角形是关键。
: 是初一几何的内容吧(?)。
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h**s
发帖数: 19 | 19 右上和右下的棋子和棋盘的切点恰好是（3r,r) and (3r, -r).
r= sqrt(10)/10
d = sqrt(10)/5
至于为什么切点恰好是（3r， r）和（3r，-r),我是设右上切点为（a，b）死算的，也
许用解析几何更容易些吧。
如果是选择题，有几个选项，就容易了，考虑极端情况就可以了。 |
r*****8
发帖数: 2560 | 20 大小园内切或外切，切点和2圆心，在同一条直线上。
九年级的书是这么说的：连心线垂直于公切线。
http://beike.dangzhi.com/view/4unshq
【在 v*****u 的大作中提到】
: 怎么保证是在一条直线上的？
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h**s
发帖数: 19 | 21 faint
本题是个错误命题。不可能摆出如此图形 |
d***a
发帖数: 13752 | 22 如果想到了要找一个三角形，解这个题目就是时间问题了，因为三角形的
组合是有限的。
其实如果是半圆的话，三角形的组合要少一些，搜寻过程可能会更快一些。
呵呵，这些都是小时候琢磨的问题了。
【在 a*****g 的大作中提到】
: 最早看到的时候，大圆是半圆。那样难度要大一些，不容易看到那个三角形了。
|
a*****g
发帖数: 19398 | 23 整个圆的时候，有对称的感觉，所以容易通过直觉就感觉到圆心在同一个直线。
半个圆的时候，就无法形成对称的感觉，反而失去了直觉，需要其他的辅助知识
【在 d***a 的大作中提到】
: 如果想到了要找一个三角形，解这个题目就是时间问题了，因为三角形的
: 组合是有限的。
: 其实如果是半圆的话，三角形的组合要少一些，搜寻过程可能会更快一些。
: 呵呵，这些都是小时候琢磨的问题了。
|
h**s
发帖数: 19 | 24 同意是成直线。可以，把坐标带进去，会发现右边两个小圆不可能相切。。。
所以，没有办法摆出如此图形。这是个假命题。。。 |
h**s
发帖数: 19 | 25 换个角度看，如果把大圆去掉，画六个肩并肩的小圆。从原来大圆的圆心到边上四个小
圆的圆心画直线，并和边上四个小圆交于4点。
那么，该4点共圆的那个圆和四个小圆不相切。如何不相切，我也是死算的。
郁闷 |
h**s
发帖数: 19 | 26 我的计算方法和GnGSystem的一样。
三角形的是另外的计算方法。
两种都没有错，都是去了部分条件。
但是该图形本身是不存在的。所以，尽管大家都对，但是答案不一样。 |
B******1
发帖数: 9094 | 27 Based on symmetry, LZ's drawing and the 7 circles exist.
htys is wrong. |
B******1
发帖数: 9094 | 28 A good picture is better than a thousand words.
【在 h**s 的大作中提到】
: faint
: 本题是个错误命题。不可能摆出如此图形
|
e**i
发帖数: 1983 | 29 楼主的图形100%存在！
Beida101对，htys错，由对称性这一目了然。
PS：是htys，呵呵
【在 B******1 的大作中提到】
: Based on symmetry, LZ's drawing and the 7 circles exist.
: htys is wrong.
|
e**i
发帖数: 1983 | 30 请问楼主是用什么绘图软件绘此图的？
【在 a*****g 的大作中提到】
: 一道围棋数学题（图）
: 6个围棋棋子放在棋罐盖子上，刚好形成如下形状（参看后面附图）。
: 假设盖子、棋子都简化成平面的圆，并且盖子半径是1。
: 求棋子直径。（注意条件有的是直径，有的是半径。）
: 【题目还能变形：一个圆形贝壳可以切割出6个蛤碁石棋子。
: 贝壳半径是1，那么棋子直径多少？】
: 背景知识：
: 围棋起源于中国，是修身养性的良品。棋子亮泽圆润，是指尖的精灵。但世界上最好的
: 围棋棋子，却产自日本，白子由天然贝壳打磨而成，做工细腻，称为蛤碁石，蛤意为“
: 贝”；碁意为“棋”，蛤碁石就是贝壳棋子的意思。蛤碁石严格来讲不包括黑子，仅指
|
|
|
e**i
发帖数: 1983 | 31 请问您在7楼是用什么绘图软件绘此图的？
【在 d***a 的大作中提到】
: 很有意思的题目，可以用三角形公式来解
: 如附图画一个三角形，看中间靠右的那个小三角形
: (R-r)^2 = (2r)^2+r^2 = 5r^2, R= 1
: 1-r = sqrt(5)*r
: (sqrt(5)+1)*r = 1
: r = 1/(1+sqrt(5)) = 0.3090
|
e**i
发帖数: 1983 | 32 请问您在28楼是用什么绘图软件绘此图的？
【在 B******1 的大作中提到】
: A good picture is better than a thousand words.
|
e**i
发帖数: 1983 | 33 请问您在12楼是用什么绘图软件绘此图的？
【在 u**********l 的大作中提到】
: 勾股定理啥时候学的？ 这个题没啥难度啊
|
B******1
发帖数: 9094 | 34 Alibre
http://www.alibre.com/
【在 e**i 的大作中提到】
: 请问您在28楼是用什么绘图软件绘此图的？
|
F****n
发帖数: 3271 | 35 这个题关键是证明切点和大圆心的线过小圆心
奥数经常会鼓励这种依靠不需要证明的猜想解题的思路
美其名曰培养想象力和直觉思维。其实是很不靠谱的。
【在 a*****g 的大作中提到】
: 一道围棋数学题（图）
: 6个围棋棋子放在棋罐盖子上，刚好形成如下形状（参看后面附图）。
: 假设盖子、棋子都简化成平面的圆，并且盖子半径是1。
: 求棋子直径。（注意条件有的是直径，有的是半径。）
: 【题目还能变形：一个圆形贝壳可以切割出6个蛤碁石棋子。
: 贝壳半径是1，那么棋子直径多少？】
: 背景知识：
: 围棋起源于中国，是修身养性的良品。棋子亮泽圆润，是指尖的精灵。但世界上最好的
: 围棋棋子，却产自日本，白子由天然贝壳打磨而成，做工细腻，称为蛤碁石，蛤意为“
: 贝”；碁意为“棋”，蛤碁石就是贝壳棋子的意思。蛤碁石严格来讲不包括黑子，仅指
|
B******1
发帖数: 9094 | 36 All problems contain the premise that the conditions given are correct. It
is not the student's job to question the validity of the problem. Rather, a
student simply takes what is given and figures out the answer to the problem.
In the present case, since the big circle and the small circle are tangent
to each other, those three points you mentioned HAVE to be on the same line.
Period.
If you want the proof that the 7 cirlces exist, you look no further than
looking at the possibility of drawing 4 lines connecting those four groups
of 3 points each. If you can draw those 4 lines and the corresponding small
circles also fulfill the requirement of tangent to adjacent ones, then there
is no point or rationale to argue it is impossible to draw such a figure.
【在 F****n 的大作中提到】
: 这个题关键是证明切点和大圆心的线过小圆心
: 奥数经常会鼓励这种依靠不需要证明的猜想解题的思路
: 美其名曰培养想象力和直觉思维。其实是很不靠谱的。
|
B******1
发帖数: 9094 | 37 Your calculation sucks. The coordinates for 右上和右下棋子和棋盘的切点 are
WRONG. You started from the wrong foot and ended up with a wrong conclusion.
【在 h**s 的大作中提到】
: 右上和右下的棋子和棋盘的切点恰好是（3r,r) and (3r, -r).
: r= sqrt(10)/10
: d = sqrt(10)/5
: 至于为什么切点恰好是（3r， r）和（3r，-r),我是设右上切点为（a，b）死算的，也
: 许用解析几何更容易些吧。
: 如果是选择题，有几个选项，就容易了，考虑极端情况就可以了。
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p**s
发帖数: 2707 | 38 奥数真是躺着也中枪．．．
【在 F****n 的大作中提到】
: 这个题关键是证明切点和大圆心的线过小圆心
: 奥数经常会鼓励这种依靠不需要证明的猜想解题的思路
: 美其名曰培养想象力和直觉思维。其实是很不靠谱的。
|
l******g
发帖数: 115 | 39 数学题会明确说明某圆与某圆相切于某点，不会让学生自己只看图来判断它们是否相切
。竞赛题也一样。
如果已知相切，那么切点和大圆心的线过小圆心根本不是不需要证明的猜想。
【在 F****n 的大作中提到】
: 这个题关键是证明切点和大圆心的线过小圆心
: 奥数经常会鼓励这种依靠不需要证明的猜想解题的思路
: 美其名曰培养想象力和直觉思维。其实是很不靠谱的。
|
a*****g
发帖数: 19398 | 40 我的是代数几何专用软件 GeoGebra
好的
为“
仅指
【在 e**i 的大作中提到】
: 请问楼主是用什么绘图软件绘此图的？
|
|
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w********x
发帖数: 1732 | 41 1/（sqrt（5）+1）
只要把小圆的半径都画出来，就一目了然了
【在 a*****g 的大作中提到】
: 一道围棋数学题（图）
: 6个围棋棋子放在棋罐盖子上，刚好形成如下形状（参看后面附图）。
: 假设盖子、棋子都简化成平面的圆，并且盖子半径是1。
: 求棋子直径。（注意条件有的是直径，有的是半径。）
: 【题目还能变形：一个圆形贝壳可以切割出6个蛤碁石棋子。
: 贝壳半径是1，那么棋子直径多少？】
: 背景知识：
: 围棋起源于中国，是修身养性的良品。棋子亮泽圆润，是指尖的精灵。但世界上最好的
: 围棋棋子，却产自日本，白子由天然贝壳打磨而成，做工细腻，称为蛤碁石，蛤意为“
: 贝”；碁意为“棋”，蛤碁石就是贝壳棋子的意思。蛤碁石严格来讲不包括黑子，仅指
|
B******1
发帖数: 9094 | 42 只要大小圆的圆心(在同一直线上)两点间距等于两半径之和或之差，两个圆肯定相切，
不然你就会得出大圆或小圆不是圆了（既圆上有某点到圆心的距离不是半径）。
【在 h**s 的大作中提到】
: 换个角度看，如果把大圆去掉，画六个肩并肩的小圆。从原来大圆的圆心到边上四个小
: 圆的圆心画直线，并和边上四个小圆交于4点。
: 那么，该4点共圆的那个圆和四个小圆不相切。如何不相切，我也是死算的。
: 郁闷
|
p**s
发帖数: 2707 | 43 小声说一句，大小圆的圆心在同一直线上，两个圆也可以相交，还可以完全分离
【在 B******1 的大作中提到】
: 只要大小圆的圆心(在同一直线上)两点间距等于两半径之和或之差，两个圆肯定相切，
: 不然你就会得出大圆或小圆不是圆了（既圆上有某点到圆心的距离不是半径）。
|
l******g
发帖数: 115 | 44 "只要大小圆的圆心在同一直线上"?
【在 B******1 的大作中提到】
: 只要大小圆的圆心(在同一直线上)两点间距等于两半径之和或之差，两个圆肯定相切，
: 不然你就会得出大圆或小圆不是圆了（既圆上有某点到圆心的距离不是半径）。
|
B******1
发帖数: 9094 | 45 good catch.
【在 p**s 的大作中提到】
: 小声说一句，大小圆的圆心在同一直线上，两个圆也可以相交，还可以完全分离
|
B******1
发帖数: 9094 | 46 两点永远在一条直线上。
LOL. I gave a redundant statement. |
e**i
发帖数: 1983 | 47 谢！:)
————————————————————————————————————
发信人: Beida101 (北大学子), 信区: Parenting
标 题: Re: 一道围棋数学题（图）
发信站: BBS 未名空间站 (Wed May 9 09:18:25 2012, 美东)
Alibre
http://www.alibre.com/
【在 e**i 的大作中提到】
: 请问您在28楼是用什么绘图软件绘此图的？
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l******g
发帖数: 115 | 48 我记得当时平面几何好像是初二的内容，勾股定理比圆教得要早，圆好像是平面几何里
最后教的。
【在 d***a 的大作中提到】
: 对称性：放一个小圆在大圆中，小圆与大圆内切，那么大圆圆心，
: 小圆圆心，大小圆的切点，这三点必然在一条直线上。
: 这题目很有意思，但不难，找到那个三角形是关键。
: 是初一几何的内容吧(?)。
|
e**i
发帖数: 1983 | 49 谢！:)
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发信人: ananpig (安安猪－最爱看超级大法官), 信区: Parenting
标 题: Re: 一道围棋数学题（图）
发信站: BBS 未名空间站 (Wed May 9 10:40:26 2012, 美东)
我的是代数几何专用软件 GeoGebra
【在 e**i 的大作中提到】
: 请问楼主是用什么绘图软件绘此图的？
|
s*****c
发帖数: 753 | 50 The four 相切 point between small circle and large circle has the same
distance to the 相切 point of the center two small circles. This is from
the rule of symmetry.
【在 h**s 的大作中提到】
: 换个角度看，如果把大圆去掉，画六个肩并肩的小圆。从原来大圆的圆心到边上四个小
: 圆的圆心画直线，并和边上四个小圆交于4点。
: 那么，该4点共圆的那个圆和四个小圆不相切。如何不相切，我也是死算的。
: 郁闷
|
|
|
h**s
发帖数: 19 | 51 correct!
so these 4 points share a same circle; but the circle was not the big circle
...
the big circle itself cannot be a real circle.
【在 s*****c 的大作中提到】
: The four 相切 point between small circle and large circle has the same
: distance to the 相切 point of the center two small circles. This is from
: the rule of symmetry.
|
B******1
发帖数: 9094 | 52 If the big circle includes the four tangent points, it is the BIG circle we
are talking about, isn't it?
Why are you saying a circle is not a circle?
circle
【在 h**s 的大作中提到】
: correct!
: so these 4 points share a same circle; but the circle was not the big circle
: ...
: the big circle itself cannot be a real circle.
|
r***k
发帖数: 13586 | 53 假定右上的小圆中心为原点，小圆半径为1，此题就相当于在x^2+y^2=1的情况下，最大
化(x+2)^2+(y+1)^2。 |
p**s
发帖数: 2707 | 54 (x+2)^2+(y+1)^2 = x^2+y^2+5+4x+2y
4x+2y<=sqrt((x^2+y^2)(4^2+2^2))=sqrt(20)
最大值是6+sqrt(20)=(1+sqrt(5))^2
【在 r***k 的大作中提到】
: 假定右上的小圆中心为原点，小圆半径为1，此题就相当于在x^2+y^2=1的情况下，最大
: 化(x+2)^2+(y+1)^2。
|
e**i
发帖数: 1983 | 55 ditto 38楼plus对贵帖的评论“奥数真是躺着也中枪”！
我进这个楼主要是冲着咨询绘图软件而来的……但你提到奥数，我看到了，就不得不为之辩护了！——对本人而言这辈子最幸运事（排进前十！）之一就是有幸参加奥数！得奖、保送名校是其次，最重要的是奥数对我智力的开发，作用无与伦比！！！
我93年CMO三等奖（全国30名左右，前20进集训队，我当时的实力应与拿IMO铜牌的实力相当），觉得有必要在此展现自己所剩无几的实力——平面几何忘得差不多了，连“两圆相切，圆心连线必过切点”这样的定理都忘了，看到前面有人提到才想起——来旁证奥数的重大意义！
先泛论，再就你的话逐一作答。
奥数当前在中国是过火了，有些过犹不及，但其绝对不可废，否则也是过犹不及，为害甚至远超奥数过火的情形！
当然，我坚决反对过火的尤其填鸭式的的针对奥数的培训和训练（只对初赛级别有效，对复赛（即CMO，冬令营）以上级别收效甚微）！必要的培训是必要的，但绝对不可过火，尤其乱收高费的渔利性质的奥数培训班要坚决禁止！当年（80年代末90年代初）我家境普通，记忆中当时整个国家教育大环境仍较朴实无华，存在的极少收费班都是区或市教育局一类的官方机构牵头请名师在周末给地区以上级别的学生讲课，附带象征性收费以回馈授课老师。
我的看法：搞奥数，应该兴趣至上，初期10%的培训加90%的自学自修自研自悟，后期达到全国联赛省一等奖级别后培训的比重才应升到20~40%。
我初中高中都参加过数学竞赛，应该是初二也可能是初三时参加过唯一一次物理竞赛（重庆市某区三等奖，呵呵），高中参加过化学竞赛（92年全国高中化学联赛省三等奖），所以我对数理化竞赛都有或浅或深的切身体会。我的看法是：化学竞赛不需要搞，因为竞赛题基本都是些大学课程题目，可以通过提前自学大学课程来获奖，对个人智力的提高、国家人才的选拔的效用几近于无！物理竞赛可能比化学竞赛好些，但我估计（此处因为高中未参加物理竞赛而没有把握）也有类似情况，只是情节相对较轻而已。唯有数学，自学大学课程对奥数没有实质帮助！甚至可说没有任何帮助！唯一的作用是帮助提高整体思维水平，比如学习数学分析、微积分而获得由离散到连续的思维能力。我敢打赌，让中国名校数学系（比如北大数学系、中科大数学系）毕业生参加高中数学联赛，能有最多40~60%拿省一等奖，能有最多10~20%拿冬令营三等奖以上，这还是往高了估计的结果。
记得某伟人（似乎是爱因斯坦）说过一句话（大意）：“学习一门科学的精华是离开校门后遗忘后剩下的东西。”——那其实也就是渗透入灵魂中的深入哲学层面的智识！下面我就对你的话逐一作答，来展示我因为参加奥数而获得的这类智识……
先严格（！）证明此图形存在：
先考虑内部2排3列相邻相切的共2*3=6个小圆，这是显然的中心对称和轴对称（过中心的横轴、纵轴均对称）图形（这个在平面几何中可直接给出，勿需证明），中心在中间两圆的切点上，记为O点。
存在以O点为中心某圆，记为“大圆”，该大圆与左上方圆相切。由中心对称，该大圆与右下方圆相切（勿需证明）。由横轴对称，该大圆与左下方、右上方圆相切（勿需证明）。得证。
这是显然的，我在浪费时间。
你说“这个题关键是证明切点和大圆心的线过小圆心”——这是对的，不过也是不证自明的（对我而言）——这样的图形，具有明显的数学对称美感，完全是一目了然。上面我已证明必存在大圆与2x3小圆的边上四小圆同时相切，在此基础上，由“两圆相切，圆心连线必过切点”，得证。
你后两句说“奥数经常会鼓励这种依靠不需要证明的猜想解题的思路，美其名曰培养想象力和直觉思维。其实是很不靠谱的。”——终于到本文的戏肉了！我要用我本人的经历为论据来重点批驳你的此观点！
当年我高二时参加全国高中数学联赛，失利，初赛连三等奖都没得到。痛定思痛，我从约92年底93年初开始，先重新扎实过去数年的不牢固数学基础（大量非题海型做题和有意识记忆），再买、借大量数竞书籍并大量做题，同时总结各种解题技巧。我所在的高中虽现在是全国重点中学，但数竞培训的实力，至少在当年，不强。我主要靠自学、自悟来提高，并记录每一收获、悟得。我写这些，不是费话，而是为了强调我自悟（！）得的两个最关键心得：▲①打准大方向。▲②记忆决定思维跨度。
其中，“①打准大方向”就是你说的“奥数经常会鼓励这种依靠不需要证明的猜想解题的思路，美其名曰培养想象力和直觉思维。”，也即基于经验的直觉、题感。在研发中，这就是重中之重的决定大方向的能力！！！没有强发散思维能力，就没有强想像力、强创造力！但发散思维能力强，如果没有这样的想象力、直觉力、洞察力，于无数可能的从未被前人走过的崭新道路中，不能靠有限的经验和信息选出正确的道路子集，则一切也是镜花水月！所以，奥数最重大的意义之一，正是培养这种未来能在人类所有学科、所有领域都有用的“打准大方向”的能力！
另外，由②可引申出，当思维跨度因记忆、经验等而变得越来越大并最终量变到质变后，就拥有了搞研发等一切拓展人类智识领域的工作中最弥足珍贵的能力——直觉力！
92年10月全国高中数学联赛初赛，我当时入场开试后第一件事，不是看题，而是在草稿纸上写下两项：第一项就是“打准大方向”五个字！第二项是各种技巧和思维方式，比如分析法／综合法／两头凑法、数学分析法、抽屉原则、磨光变幻、构造法（上面我证该图形存在本质上就是用的构造法）、反证法、极端性原理、特殊化（增加条件）、一般化（减少条件）、映射平移（映射到数学的不同分支来思考和解题，比如代数、平面几何、立体几何、三角、解析几何之间的相互映射）……这些其实都是搞研究开发的常用思维方法，我终生受益！
题外话，当年该赛我仍在最末一题犯了没有“打准大方向”的大错！记忆中共4小时，拉通了考，余下一小时余下最后一题，我出去小解后返回，数错纵线数目（应该5根我数为6根），立即否定应该使用的抽屉原则（犯了大错！）而改用凸包，并在未想通前决定边写边想（另一大错！）,最终只得了四川省第六名，靠交费（1500元人民币吧）进的冬令营。当时铃声响了，收拾工具，才出教室门，脑筋由紧张状态一松驰下来，我就立即明白自己数错了，应该用抽屉原则……现在想来，一切均是天意。 :)
综上，奥数“培养想象力和直觉思维”的作用是非常重大而非你说的“其实是很不靠谱的。”，你的话我感觉是对奥数的侮辱！特此费时数小时撰文批驳！我估计你没有参加过奥数、甚至不是搞研究的！否则你不会对奥数对“培养想象力和直觉思维”的作用一无所察，也不会发出“其实是很不靠谱的。”这样的谬论。
最后，说实话，这题太简单，跟奥数毛关系都没有——“奥数真是躺着也中枪”！
PS：这是家版，我向家版的为人父母们提一下我的心得：训练逻辑思维能力的最优数学分支是平面几何！只需要最基础的数学知识，就能学习平面几何。如果能达到能用纯平面几何知识（不靠解析几何等）解决大多数必须通过做辅助线才能解决的平面几何难题的水平，逻辑思维能力和严密度就算彻底过关了！:)
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发信人: Foxman (今狐冲), 信区: Parenting
标 题: Re: 一道围棋数学题（图）
发信站: BBS 未名空间站 (Wed May 9 09:55:27 2012, 美东)
这个题关键是证明切点和大圆心的线过小圆心
奥数经常会鼓励这种依靠不需要证明的猜想解题的思路
美其名曰培养想象力和直觉思维。其实是很不靠谱的。
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发信人: ananpig (安安猪－最爱看超级大法官), 信区: Parenting
标 题: 一道围棋数学题（图）
发信站: BBS 未名空间站 (Tue May 8 17:34:51 2012, 美东)
一道围棋数学题（图）
6个围棋棋子放在棋罐盖子上，刚好形成如下形状（参看后面附图）。
假设盖子、棋子都简化成平面的圆，并且盖子半径是1。
求棋子直径。（注意条件有的是直径，有的是半径。）
【题目还能变形：一个圆形贝壳可以切割出6个蛤碁石棋子。
贝壳半径是1，那么棋子直径多少？】
背景知识：
围棋起源于中国，是修身养性的良品。棋子亮泽圆润，是指尖的精灵。但世界上最好的
围棋棋子，却产自日本，白子由天然贝壳打磨而成，做工细腻，称为蛤碁石，蛤意为“
贝”；碁意为“棋”，蛤碁石就是贝壳棋子的意思。蛤碁石严格来讲不包括黑子，仅指
白子，围棋的品级也是按照白子来区分。
在满足对弈的主要使用功能时，蛤碁石还给棋手带来视角上、手感上、对弈上、音色上
的综合美感，使其享受最大乐趣，在日本围棋界被誉称为“梦幻之魂”。
日向市在明治四十一年发现了精美的蛤贝，并开始利用它制作蛤碁石，至今日向市成为
蛤碁石围棋的唯一产地。但在三十年前由于日向市的蛤贝资源已日渐枯竭，现转为使用
墨西哥蛤贝石资源制作蛤碁石。
提示: 本博文来自于 Parenting 版
【在 a*****g 的大作中提到】
: 我的是代数几何专用软件 GeoGebra
:
: 好的
: 为“
: 仅指
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B******1
发帖数: 9094 | 56 Nice post.
Sichuanian is smart and straight!
得不为之辩护了！——对本人而言这辈子最幸运事（排进前十！）之一就是有幸参加奥
数！得奖、保送名校是其次，最重要的是奥数对我智力的开发，作用无与伦比！！！
的实力相当），觉得有必要在此展现自己所剩无几的实力——平面几何忘得差不多了，
连“两圆相切，圆心连线必过切点”这样的定理都忘了，看到前面有人提到才想起——
来旁证奥数的重大意义！
，为害甚至远超奥数过火的情形！
有效，对复赛（即CMO，冬令营）以上级别收效甚微）！必要的培训是必要的，但绝对
不可过火，尤其乱收高费的渔利性质的奥数培训班要坚决禁止！当年（80年代末90年代
初）我家境普通，记忆中当时整个国家教育大环境仍较朴实无华，存在的极少收费班都
是区或市教育局一类的官方机构牵头请名师在周末给地区以上级别的学生讲课，附带象
征性收费以回馈授课老师。
后期达到全国联赛省一等奖级别后培训的比重才应升到20~40%。
竞赛（重庆市某区三等奖，呵呵），高中参加过化学竞赛（92年全国高中化学联赛省三
等奖），所以我对数理化竞赛都有或浅或深的切身体会。我的看法是：化学竞赛不需要
搞，因为竞赛题基本都是些大学课程题目，可以通过提前自学大学课程来获奖，对个人
智力的提高、国家人才的选拔的效用几近于无！物理竞赛可能比化学竞赛好些，但我估
计（此处因为高中未参加物理竞赛而没有把握）也有类似情况，只是情节相对较轻而已
。唯有数学，自学大学课程对奥数没有实质帮助！�: 踔量伤得挥腥魏伟镏∥
ㄒ坏淖饔檬前镏岣哒逅嘉剑热缪笆Х治觥⑽⒒侄竦糜衫肷⒌搅
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渭痈咧惺Я苡凶疃�40~60%拿省一等奖，能有最多10~20%拿冬令营三等
奖以上，这还是往高了估计的结果。
离开校门后遗忘后剩下的东西。”——那其实也就是渗透入灵魂中的深入哲学层面的智
识！下面我就对你的话逐一作答，来展示我因为参加奥数而获得的这类智识……
【在 e**i 的大作中提到】
: ditto 38楼plus对贵帖的评论“奥数真是躺着也中枪”！
: 我进这个楼主要是冲着咨询绘图软件而来的……但你提到奥数，我看到了，就不得不为之辩护了！——对本人而言这辈子最幸运事（排进前十！）之一就是有幸参加奥数！得奖、保送名校是其次，最重要的是奥数对我智力的开发，作用无与伦比！！！
: 我93年CMO三等奖（全国30名左右，前20进集训队，我当时的实力应与拿IMO铜牌的实力相当），觉得有必要在此展现自己所剩无几的实力——平面几何忘得差不多了，连“两圆相切，圆心连线必过切点”这样的定理都忘了，看到前面有人提到才想起——来旁证奥数的重大意义！
: 先泛论，再就你的话逐一作答。
: 奥数当前在中国是过火了，有些过犹不及，但其绝对不可废，否则也是过犹不及，为害甚至远超奥数过火的情形！
: 当然，我坚决反对过火的尤其填鸭式的的针对奥数的培训和训练（只对初赛级别有效，对复赛（即CMO，冬令营）以上级别收效甚微）！必要的培训是必要的，但绝对不可过火，尤其乱收高费的渔利性质的奥数培训班要坚决禁止！当年（80年代末90年代初）我家境普通，记忆中当时整个国家教育大环境仍较朴实无华，存在的极少收费班都是区或市教育局一类的官方机构牵头请名师在周末给地区以上级别的学生讲课，附带象征性收费以回馈授课老师。
: 我的看法：搞奥数，应该兴趣至上，初期10%的培训加90%的自学自修自研自悟，后期达到全国联赛省一等奖级别后培训的比重才应升到20~40%。
: 我初中高中都参加过数学竞赛，应该是初二也可能是初三时参加过唯一一次物理竞赛（重庆市某区三等奖，呵呵），高中参加过化学竞赛（92年全国高中化学联赛省三等奖），所以我对数理化竞赛都有或浅或深的切身体会。我的看法是：化学竞赛不需要搞，因为竞赛题基本都是些大学课程题目，可以通过提前自学大学课程来获奖，对个人智力的提高、国家人才的选拔的效用几近于无！物理竞赛可能比化学竞赛好些，但我估计（此处因为高中未参加物理竞赛而没有把握）也有类似情况，只是情节相对较轻而已。唯有数学，自学大学课程对奥数没有实质帮助！甚至可说没有任何帮助！唯一的作用是帮助提高整体思维水平，比如学习数学分析、微积分而获得由离散到连续的思维能力。我敢打赌，让中国名校数学系（比如北大数学系、中科大数学系）毕业生参加高中数学联赛，能有最多40~60%拿省一等奖，能有最多10~20%拿冬令营三等奖以上，这还是往高了估计的结果。
: 记得某伟人（似乎是爱因斯坦）说过一句话（大意）：“学习一门科学的精华是离开校门后遗忘后剩下的东西。”——那其实也就是渗透入灵魂中的深入哲学层面的智识！下面我就对你的话逐一作答，来展示我因为参加奥数而获得的这类智识……
: 先严格（！）证明此图形存在：
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e**i
发帖数: 1983 | 57 :)
【在 B******1 的大作中提到】
: Nice post.
: Sichuanian is smart and straight!
:
: 得不为之辩护了！——对本人而言这辈子最幸运事（排进前十！）之一就是有幸参加奥
: 数！得奖、保送名校是其次，最重要的是奥数对我智力的开发，作用无与伦比！！！
: 的实力相当），觉得有必要在此展现自己所剩无几的实力——平面几何忘得差不多了，
: 连“两圆相切，圆心连线必过切点”这样的定理都忘了，看到前面有人提到才想起——
: 来旁证奥数的重大意义！
: ，为害甚至远超奥数过火的情形！
: 有效，对复赛（即CMO，冬令营）以上级别收效甚微）！必要的培训是必要的，但绝对
|
h**s
发帖数: 19 | 58 1. 按照图，右上小圆的圆心坐标是（2r，r), 切点是（a，b）
我们有：
a×a + b×b = 1
（a-2r）（a-2r）+（b-r）（b-r）=r×r
（b-r）（b-r）=（3r-a）（b）
该方程的唯一解是a=3r； b=r
这个解是错误的，因为依照这个解，显然大小圆圆心和切点不在一条直线上。
2.大小圆与切线共直线的错误：循环论证：
就是，先假设我们能做出这个图形，那么，小圆与大圆相切，那么三点共直线。
同时，三点共直线也可以证明小圆和大圆相切。
但是，我们始终没能证明可以有这样的大圆和六个小圆存在。而解析几何恰恰证明了此
种情况不存在。
所以，本命题本身是错误的。 |
B******1
发帖数: 9094 | 59 （b-r）（b-r）=（3r-a）（b）
What is the rationale for the above equation?
Especially the 3r?
The 3rd equation should be:
(b-r)/(a-2r) = b/a
if you use similar triangles.
or
sqr(5)*r = 1-r, which is the quickest way of solving the problem. |
B******1
发帖数: 9094 | 60 大小圆与切线共直线的错误：循环论证：
就是，先假设我们能做出这个图形，那么，小圆与大圆相切，那么三点共直线。
同时，三点共直线也可以证明小圆和大圆相切。
Wrong. The key here is not the three points are on the same line, but the distance between the two centers equals the difference between the two radii.
You still did not get it. |
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e**i
发帖数: 1983 | 61 得，我看到北大学子在浪费时间给你查错，替他的时间不值。
你的“（b-r）（b-r）=（3r-a）（b）”100%错
我的建议：你自己用直尺圆规画图，先画6小圆，再以中间2圆切点为圆心画大圆，尽量与四角某圆，比如右上方小圆相切，相信我，你会发现此大圆会同时与其它三角的小圆也相切，由此你自己都会发现自己的错误——这也是我由奥数得到的经验。92年全国高中数学联赛二试三大道难题之一（若记忆无误，应该是#2，倒数第二题），我就是用此法解出——即把试卷上比例不精确的图用圆规直尺画出，然后立即就发现了辅助线并解决。
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发信人: htys (abcd), 信区: Parenting
标 题: Re: 一道围棋数学题（图）
发信站: BBS 未名空间站 (Wed May 9 22:39:14 2012, 美东)
1. 按照图，右上小圆的圆心坐标是（2r，r), 切点是（a，b）
我们有：
a×a + b×b = 1
（a-2r）（a-2r）+（b-r）（b-r）=r×r
（b-r）（b-r）=（3r-a）（b）
该方程的唯一解是a=3r； b=r
这个解是错误的，因为依照这个解，显然大小圆圆心和切点不在一条直线上。
2.大小圆与切线共直线的错误：循环论证：
就是，先假设我们能做出这个图形，那么，小圆与大圆相切，那么三点共直线。
同时，三点共直线也可以证明小圆和大圆相切。
但是，我们始终没能证明可以有这样的大圆和六个小圆存在。而解析几何恰恰证明了此
种情况不存在。
所以，本命题本身是错误的。 |
q****i
发帖数: 6923 | 62 俺来贡献一个笨妈思维的笨办法，其实如果你假象中间的2个小圆的半径不受限制，你会想到只要你把大圆慢慢收缩，到相切的时候停止，一定会和这4个圆相切。既然2个小圆的半径不受限制的时候都相切那么受限制的时候也相切。
【在 h**s 的大作中提到】
: 1. 按照图，右上小圆的圆心坐标是（2r，r), 切点是（a，b）
: 我们有：
: a×a + b×b = 1
: （a-2r）（a-2r）+（b-r）（b-r）=r×r
: （b-r）（b-r）=（3r-a）（b）
: 该方程的唯一解是a=3r； b=r
: 这个解是错误的，因为依照这个解，显然大小圆圆心和切点不在一条直线上。
: 2.大小圆与切线共直线的错误：循环论证：
: 就是，先假设我们能做出这个图形，那么，小圆与大圆相切，那么三点共直线。
: 同时，三点共直线也可以证明小圆和大圆相切。
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a*****g
发帖数: 19398 | 63 我也加个码
把坐标都画出来
大圆的方程、小圆（右上角）的方程，右上角切点坐标、切点和圆心连线都画出来
研发的少许相关心得——Re: 一道围棋数学题（图）
得不为之辩护了！——对本人而言这辈子最幸运事（排进前十！）之一就是有幸参加奥
数！得奖、保送名校是其次，最重要的是奥数对我智力的开发，作用无与伦比！！！
的实力相当），觉得有必要在此展现自己所剩无几的实力——平面几何忘得差不多了，
连“两圆相切，圆心连线必过切点”这样的定理都忘了，看到前面有人提到才想起——
来旁证奥数的重大意义！
，为害甚至远超奥数过火的情形！
有效，对复赛（即CMO，冬令营）以上级别收效甚微）！必要的培训是必要的，但绝对
不可过火，尤其乱收高费的渔利性质的奥数培训班要坚决禁止！当年（80年代末90年代
初）我家境普通，记忆中当时整个: 我的看法：搞奥数，应该兴趣至上，初期10%
的培训加90%的自学自修自研自悟，后期达到全国联赛省一等奖级别后培训的比重才应
升到20~40%。
竞赛（重庆市某区三等奖，呵呵），高中参加过化学竞赛（92年全国高中化学联赛省三
等奖），所以我对数理化竞赛都有或浅或深的切身体会。我的看法是：化学竞赛不需要
搞，因为竞赛题基本都是些大学
离开校门后遗忘后剩下的东西。”——那其实也就是渗透入灵魂中的深入哲学层面的智
识！下面我就对你的话逐一作答，来展示我因为参加奥数而获得的这类智识……
过中心的横轴、纵轴均对称）图形（这个在平面几何中可直接给出，勿需证明），中心
在中间两圆的切点上，记为O点。
该大圆与右下方圆相切（勿需证明）。由横轴对称，该大圆与左下方、右上方圆相切（
勿需证明）。得证。
不证自明的（对我而言）——这样的图形，具有明显的数学对称美感，完全是一目了然
。上面我已证明必存在大圆与2x3小圆的边上四小圆同时相切，在此基础上，由“两圆
相切，圆心连线必过切点”，得证:
培养想象力和直觉思维。其实是很不靠谱的。”——终于到本文的戏肉了！我要用我本
人的经历为论据来重点批驳你的此观点！
，我从约92年底93年初开始，先重新扎实过去数年的不牢固数学基础（大量非题海型做
题和有意识记忆），再买、借大量数竞书籍并大量做题，同时总结各种解题技巧。我所
在的高中虽现在是全国重点中学
想解题的思路，美其名曰培养想象力和直觉思维。”，也即基于经验的直觉、题感。在
研发中，这就是重中之重的决定大方向的能力！！！没有强发散思维能力，就没有强想
像力、强创造力！但发散思维能 另外，由②可引申出，当思维跨度因记忆、经
验等而变得越来越大并最终量变到质变后，就拥有了搞研发等一切拓展人类智识领域的
工作中最弥足珍贵的能力——直觉力！
在草稿纸上写下两项：第一项就是“打准大方向”五个字！第二项是各种技巧和思维方
式，比如分析法／综合法／两头凑法、数学分析法、抽屉原则、磨光变幻、构造法（上
面我证该图形存在本质上就是用 题外话，当年该赛我仍在最末一题犯了没有“
打准大方向”的大错！记忆中共4小时，拉通了考，余下一小时余下最后一题，我出去
小解后返回，数错纵线数目（应该5根我数为6根），立即否定应该使用的抽屉原则（犯
了大错！）而改用凸包，并在未想通前决定边写边想（另一大错！）:
不靠谱的。”，你的话我感觉是对奥数的侮辱！特此费时数小时撰文批驳！我估计你没
有参加过奥数、甚至不是搞研究的！否则你不会对奥数对“培养想象力和直觉思维”的
作用一无所察，也不会发出“其
学分支是平面几何！只需要最基础的数学知识，就能学习平面几何。如果能达到能用纯
平面几何知识（不靠解析几何等）解决大多数必须通过做辅助线才能解决的平面几何难
题的水平，逻辑思维能力和严密
【在 e**i 的大作中提到】
: 得，我看到北大学子在浪费时间给你查错，替他的时间不值。
: 你的“（b-r）（b-r）=（3r-a）（b）”100%错
: 我的建议：你自己用直尺圆规画图，先画6小圆，再以中间2圆切点为圆心画大圆，尽量与四角某圆，比如右上方小圆相切，相信我，你会发现此大圆会同时与其它三角的小圆也相切，由此你自己都会发现自己的错误——这也是我由奥数得到的经验。92年全国高中数学联赛二试三大道难题之一（若记忆无误，应该是#2，倒数第二题），我就是用此法解出——即把试卷上比例不精确的图用圆规直尺画出，然后立即就发现了辅助线并解决。
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: 发信人: htys (abcd), 信区: Parenting
: 标 题: Re: 一道围棋数学题（图）
: 发信站: BBS 未名空间站 (Wed May 9 22:39:14 2012, 美东)
: 1. 按照图，右上小圆的圆心坐标是（2r，r), 切点是（a，b）
: 我们有：
: a×a + b×b = 1
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e**i
发帖数: 1983 | 64 哈哈，对，用软件更方便更精确 :)
【在 a*****g 的大作中提到】
: 我也加个码
: 把坐标都画出来
: 大圆的方程、小圆（右上角）的方程，右上角切点坐标、切点和圆心连线都画出来
:
: 研发的少许相关心得——Re: 一道围棋数学题（图）
: 得不为之辩护了！——对本人而言这辈子最幸运事（排进前十！）之一就是有幸参加奥
: 数！得奖、保送名校是其次，最重要的是奥数对我智力的开发，作用无与伦比！！！
: 的实力相当），觉得有必要在此展现自己所剩无几的实力——平面几何忘得差不多了，
: 连“两圆相切，圆心连线必过切点”这样的定理都忘了，看到前面有人提到才想起——
: 来旁证奥数的重大意义！
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a*****g
发帖数: 19398 | 65 嗯，这就是专业代数几何软件的威力了，也是我糟蹋围棋的招数。
【在 e**i 的大作中提到】
: 哈哈，对，用软件更方便更精确 :)
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e**i
发帖数: 1983 | 66 :D
【在 a*****g 的大作中提到】
: 嗯，这就是专业代数几何软件的威力了，也是我糟蹋围棋的招数。
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q****i
发帖数: 6923 | 67 mark，多谢大牛指导，坚定了我推宝宝数学的决心。俺比较笨，初赛就不行，但记得自
己当初上课外数学题的时候觉得几何还是很容易的，俺的代数不行。我家ld也是四川人
，也蛮聪明，条件不好，没有受过训练随便的就被拉去考试，据他说省里面的竞赛题靠
聪明就能做出来，再往下就要训练。我家ld很是奇怪的，玩东西，比如桌球，脑筋急转
，发挥好的时候好像是天才，一路杀过去没有失手的，不好的时候好像是个白痴，一个
都不会。
大牛玩玩我爸给我的题吧。
平面上2n＋1个点，每3个点不共线，每4个点不共圆，问能通过其中3个点画多少个这样的圆，使剩下的点一半在圆内，一半在圆外。
【在 e**i 的大作中提到】
: :D
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e**i
发帖数: 1983 | 68 你ld应该是那种先天好、后天功夫不够的，感觉就象91年底时的我，基础不够扎实，所
以发挥时好时坏。我搞数竞的最大经验是：数学是所有学科中最强调基本功、连贯性的
，前面基础不扎实后面就跟不上。所以如果孩子学数学吃力，首要的事是让他（她）从
加减乘除开始往后疏理，在哪个年级的功课开始出问题就从哪儿开始补，比如高一学生
做初二的较难题做不出，而初二以前的难题都没问题，就从初二的功课开始补…… :)
【在 q****i 的大作中提到】
: mark，多谢大牛指导，坚定了我推宝宝数学的决心。俺比较笨，初赛就不行，但记得自
: 己当初上课外数学题的时候觉得几何还是很容易的，俺的代数不行。我家ld也是四川人
: ，也蛮聪明，条件不好，没有受过训练随便的就被拉去考试，据他说省里面的竞赛题靠
: 聪明就能做出来，再往下就要训练。我家ld很是奇怪的，玩东西，比如桌球，脑筋急转
: ，发挥好的时候好像是天才，一路杀过去没有失手的，不好的时候好像是个白痴，一个
: 都不会。
: 大牛玩玩我爸给我的题吧。
: 平面上2n＋1个点，每3个点不共线，每4个点不共圆，问能通过其中3个点画多少个这样的圆，使剩下的点一半在圆内，一半在圆外。
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e**i
发帖数: 1983 | 69 [120510 1A]▲才看到，行，我试试吧，我没时间，只此一题…… :)
以下是我思考过程记录：
[120510 1:08AM]▲从简单情形入手、数学归纳法
样的圆，使剩下的点一半在圆内，一半在圆外。
【在 q****i 的大作中提到】
: mark，多谢大牛指导，坚定了我推宝宝数学的决心。俺比较笨，初赛就不行，但记得自
: 己当初上课外数学题的时候觉得几何还是很容易的，俺的代数不行。我家ld也是四川人
: ，也蛮聪明，条件不好，没有受过训练随便的就被拉去考试，据他说省里面的竞赛题靠
: 聪明就能做出来，再往下就要训练。我家ld很是奇怪的，玩东西，比如桌球，脑筋急转
: ，发挥好的时候好像是天才，一路杀过去没有失手的，不好的时候好像是个白痴，一个
: 都不会。
: 大牛玩玩我爸给我的题吧。
: 平面上2n＋1个点，每3个点不共线，每4个点不共圆，问能通过其中3个点画多少个这样的圆，使剩下的点一半在圆内，一半在圆外。
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q****i
发帖数: 6923 | 70 牛牛，激你一下，我在qq上随便碰到一个人聊天，他一下就做出来了，就是我刚问他就
答，那哥们一听说我快出国就不和我玩了，可能觉得自己怀才不遇吧。不好意思，浪费
你时间了。
【在 e**i 的大作中提到】
: [120510 1A]▲才看到，行，我试试吧，我没时间，只此一题…… :)
: 以下是我思考过程记录：
: [120510 1:08AM]▲从简单情形入手、数学归纳法
:
: 样的圆，使剩下的点一半在圆内，一半在圆外。
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e**i
发帖数: 1983 | 71 行，那我就不用做了 :) ——我专业软件，至少十年没碰这类数学题了，早就忘得差不多了！之前帖子中我就曾说过“平面几何忘得差不多了，连“两圆相切，圆心连线必过切点”这样的定理都忘了，看到前面有人提到才想起”……参与此楼讨论是因为本人申请专利时很可能需要绘图软件而来询问（见我前面的相关帖子）。还有，思维的速度远无深度重要！:)——此题的思路简单，由简单情形（n=1,2,3时）归纳出一般解，再用数学归纳法或直接解决（直接解决可能需要组合数学知识）……我忘光了相关的数学知识，这是我慢的原因 :)
【在 q****i 的大作中提到】
: 牛牛，激你一下，我在qq上随便碰到一个人聊天，他一下就做出来了，就是我刚问他就
: 答，那哥们一听说我快出国就不和我玩了，可能觉得自己怀才不遇吧。不好意思，浪费
: 你时间了。
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m*****8
发帖数: 4059 | 72 赞赞赞！酣畅淋漓！太精彩了！收藏了
得不为之辩护了！——对本人而言这辈子最幸运事（排进前十！）之一就是有幸参加奥
数！得奖、保送名校是其次，最重要的是奥数对我智力的开发，作用无与伦比
★ 发自iPhone App: ChineseWeb - 中文网站浏览器
【在 e**i 的大作中提到】
: ditto 38楼plus对贵帖的评论“奥数真是躺着也中枪”！
: 我进这个楼主要是冲着咨询绘图软件而来的……但你提到奥数，我看到了，就不得不为之辩护了！——对本人而言这辈子最幸运事（排进前十！）之一就是有幸参加奥数！得奖、保送名校是其次，最重要的是奥数对我智力的开发，作用无与伦比！！！
: 我93年CMO三等奖（全国30名左右，前20进集训队，我当时的实力应与拿IMO铜牌的实力相当），觉得有必要在此展现自己所剩无几的实力——平面几何忘得差不多了，连“两圆相切，圆心连线必过切点”这样的定理都忘了，看到前面有人提到才想起——来旁证奥数的重大意义！
: 先泛论，再就你的话逐一作答。
: 奥数当前在中国是过火了，有些过犹不及，但其绝对不可废，否则也是过犹不及，为害甚至远超奥数过火的情形！
: 当然，我坚决反对过火的尤其填鸭式的的针对奥数的培训和训练（只对初赛级别有效，对复赛（即CMO，冬令营）以上级别收效甚微）！必要的培训是必要的，但绝对不可过火，尤其乱收高费的渔利性质的奥数培训班要坚决禁止！当年（80年代末90年代初）我家境普通，记忆中当时整个国家教育大环境仍较朴实无华，存在的极少收费班都是区或市教育局一类的官方机构牵头请名师在周末给地区以上级别的学生讲课，附带象征性收费以回馈授课老师。
: 我的看法：搞奥数，应该兴趣至上，初期10%的培训加90%的自学自修自研自悟，后期达到全国联赛省一等奖级别后培训的比重才应升到20~40%。
: 我初中高中都参加过数学竞赛，应该是初二也可能是初三时参加过唯一一次物理竞赛（重庆市某区三等奖，呵呵），高中参加过化学竞赛（92年全国高中化学联赛省三等奖），所以我对数理化竞赛都有或浅或深的切身体会。我的看法是：化学竞赛不需要搞，因为竞赛题基本都是些大学课程题目，可以通过提前自学大学课程来获奖，对个人智力的提高、国家人才的选拔的效用几近于无！物理竞赛可能比化学竞赛好些，但我估计（此处因为高中未参加物理竞赛而没有把握）也有类似情况，只是情节相对较轻而已。唯有数学，自学大学课程对奥数没有实质帮助！甚至可说没有任何帮助！唯一的作用是帮助提高整体思维水平，比如学习数学分析、微积分而获得由离散到连续的思维能力。我敢打赌，让中国名校数学系（比如北大数学系、中科大数学系）毕业生参加高中数学联赛，能有最多40~60%拿省一等奖，能有最多10~20%拿冬令营三等奖以上，这还是往高了估计的结果。
: 记得某伟人（似乎是爱因斯坦）说过一句话（大意）：“学习一门科学的精华是离开校门后遗忘后剩下的东西。”——那其实也就是渗透入灵魂中的深入哲学层面的智识！下面我就对你的话逐一作答，来展示我因为参加奥数而获得的这类智识……
: 先严格（！）证明此图形存在：
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m*****8
发帖数: 4059 | 73 此牛不受你的激，进退有度，佩服啊佩服；）
★ 发自iPhone App: ChineseWeb - 中文网站浏览器
【在 q****i 的大作中提到】
: 牛牛，激你一下，我在qq上随便碰到一个人聊天，他一下就做出来了，就是我刚问他就
: 答，那哥们一听说我快出国就不和我玩了，可能觉得自己怀才不遇吧。不好意思，浪费
: 你时间了。
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q****i
发帖数: 6923 | 74 呵呵没关系，浪费时间的题目多得是，不做也罢。正想把我刚才说的删掉，改成让你别
做了。我本来都没仔细看上面的题，看见各位牛牛们热心所以跑来看一下。
不多了！之前帖子中我就曾说过“平面几何忘得差不多了，连“两圆相切，圆心连线必
过切点”这样的定理都忘了，看到前面有人提到才想起”……参与此楼讨论是因为本人
申请专利时很可能需要绘图软件而来询问（见我前面的相关帖子）。还有，思维的速度
远无深度重要！:)——此题的思路简单，由简单情形（n=1,2,3时）归纳出一般解，再
用数学归纳法或直接解决（直接解决可能需要组合数学知识）……我忘光了相关的数学
知识，这是我慢的原因 :)
【在 e**i 的大作中提到】
: 行，那我就不用做了 :) ——我专业软件，至少十年没碰这类数学题了，早就忘得差不多了！之前帖子中我就曾说过“平面几何忘得差不多了，连“两圆相切，圆心连线必过切点”这样的定理都忘了，看到前面有人提到才想起”……参与此楼讨论是因为本人申请专利时很可能需要绘图软件而来询问（见我前面的相关帖子）。还有，思维的速度远无深度重要！:)——此题的思路简单，由简单情形（n=1,2,3时）归纳出一般解，再用数学归纳法或直接解决（直接解决可能需要组合数学知识）……我忘光了相关的数学知识，这是我慢的原因 :)
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p**s
发帖数: 2707 | 75 n^2
不过真的很难相信qq上随便一个人一下就能做出来。。。
【在 q****i 的大作中提到】
: 牛牛，激你一下，我在qq上随便碰到一个人聊天，他一下就做出来了，就是我刚问他就
: 答，那哥们一听说我快出国就不和我玩了，可能觉得自己怀才不遇吧。不好意思，浪费
: 你时间了。
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l******g
发帖数: 115 | 76 你证了任意n的情况？
【在 p**s 的大作中提到】
: n^2
: 不过真的很难相信qq上随便一个人一下就能做出来。。。
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q****i
发帖数: 6923 | 77 我在qq的北大聊天室.....:)
当然那人不一定是北大的，我只知道他专业是ee，他可能特别自傲，还给我看了他的视
频，是个年轻帅哥。光给个答案没用的，这不是填空或者选择题，这是一道证明题。我都不记得我爸具体怎么证的了。当然大概的道理记得，严格的证明忘掉了。那人就讲了个大概的道理就算他对了。我给他出了好多题，那时候记性很好，记得很多题目，他每个都是马上答，只可惜我觉得这个人的性格有问题,不然肯定偶像他了。（知道我要出国莫名奇妙骂了我还不理我了，所以我也不想理他了。
那上边也很多比较弱的人，有的人和我聊了天就说我一定是北大的，hehe特别好玩。我还在上面扮男生追mm玩。
【在 p**s 的大作中提到】
: n^2
: 不过真的很难相信qq上随便一个人一下就能做出来。。。
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m*****8
发帖数: 4059 | 78 很可能是帅哥卖弄数学知识把妹
结果发现你要出国，没戏
立马止损闪人
【在 q****i 的大作中提到】
: 我在qq的北大聊天室.....:)
: 当然那人不一定是北大的，我只知道他专业是ee，他可能特别自傲，还给我看了他的视
: 频，是个年轻帅哥。光给个答案没用的，这不是填空或者选择题，这是一道证明题。我都不记得我爸具体怎么证的了。当然大概的道理记得，严格的证明忘掉了。那人就讲了个大概的道理就算他对了。我给他出了好多题，那时候记性很好，记得很多题目，他每个都是马上答，只可惜我觉得这个人的性格有问题,不然肯定偶像他了。（知道我要出国莫名奇妙骂了我还不理我了，所以我也不想理他了。
: 那上边也很多比较弱的人，有的人和我聊了天就说我一定是北大的，hehe特别好玩。我还在上面扮男生追mm玩。
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B******1
发帖数: 9094 | 79 可能。
想当初我问我太太（当时就是朋友）一个脑筋急转弯的难题，她也就一分钟的工夫就解
答了，让我顿生爱慕之情。
【在 m*****8 的大作中提到】
: 很可能是帅哥卖弄数学知识把妹
: 结果发现你要出国，没戏
: 立马止损闪人
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q****i
发帖数: 6923 | 80 hehe，beida兄很难得，喜欢聪明女人的男生很少哦，一般男人都喜欢女人笨，这样才
显得他自己聪明。
我倒没有因为那个（可能是）弟弟聪明生出爱慕之情，我喜欢温柔的，能罩着我的。。
。可能因为我自己能力比较差，汗一个。
【在 B******1 的大作中提到】
: 可能。
: 想当初我问我太太（当时就是朋友）一个脑筋急转弯的难题，她也就一分钟的工夫就解
: 答了，让我顿生爱慕之情。
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C*****d
发帖数: 2253 | 81 写的很好，我也是一路搞竞赛的，不过我是主要搞物理，兼化学，数学最次这样的，
也是差一点进集训队。其实这些竞赛最大的好处就象是你说的，培养对科学的直觉力。
这也是中国的非竞赛教育里非常欠缺的一块。
同时，这个直觉力靠别人推是推不出来的，只能靠自推。我一直到高中才有机会接受所
谓的竞赛培训，但之前初中就拿了几个省一等奖了。在真正接受竞赛培训之前，靠的就
是一本题集，自己按自己的兴趣看。这个过程可以说是我整个学习生涯中最有意义的一
段。
我自己的经历也影响我对教育小孩的观点。父母能做的其实就是在看到孩子做学校的作
业毫无困难的时候，给买一本奥数/奥物/。。。题集罢了。我当时还是自己要求买的不
是爸妈主动的。
得不为之辩护了！——对本人而言这辈子最幸运事（排进前十！）之一就是有幸参加奥
数！得奖、保送名校是其次，最重要的是奥数对我智力的开发，作用无与伦比！！！
的实力相当），觉得有必要在此展现自己所剩无几的实力——平面几何忘得差不多了，
连“两圆相切，圆心连线必过切点”这样的定理都忘了，看到前面有人提到才想起——
来旁证奥数的重大意义！
【在 e**i 的大作中提到】
: ditto 38楼plus对贵帖的评论“奥数真是躺着也中枪”！
: 我进这个楼主要是冲着咨询绘图软件而来的……但你提到奥数，我看到了，就不得不为之辩护了！——对本人而言这辈子最幸运事（排进前十！）之一就是有幸参加奥数！得奖、保送名校是其次，最重要的是奥数对我智力的开发，作用无与伦比！！！
: 我93年CMO三等奖（全国30名左右，前20进集训队，我当时的实力应与拿IMO铜牌的实力相当），觉得有必要在此展现自己所剩无几的实力——平面几何忘得差不多了，连“两圆相切，圆心连线必过切点”这样的定理都忘了，看到前面有人提到才想起——来旁证奥数的重大意义！
: 先泛论，再就你的话逐一作答。
: 奥数当前在中国是过火了，有些过犹不及，但其绝对不可废，否则也是过犹不及，为害甚至远超奥数过火的情形！
: 当然，我坚决反对过火的尤其填鸭式的的针对奥数的培训和训练（只对初赛级别有效，对复赛（即CMO，冬令营）以上级别收效甚微）！必要的培训是必要的，但绝对不可过火，尤其乱收高费的渔利性质的奥数培训班要坚决禁止！当年（80年代末90年代初）我家境普通，记忆中当时整个国家教育大环境仍较朴实无华，存在的极少收费班都是区或市教育局一类的官方机构牵头请名师在周末给地区以上级别的学生讲课，附带象征性收费以回馈授课老师。
: 我的看法：搞奥数，应该兴趣至上，初期10%的培训加90%的自学自修自研自悟，后期达到全国联赛省一等奖级别后培训的比重才应升到20~40%。
: 我初中高中都参加过数学竞赛，应该是初二也可能是初三时参加过唯一一次物理竞赛（重庆市某区三等奖，呵呵），高中参加过化学竞赛（92年全国高中化学联赛省三等奖），所以我对数理化竞赛都有或浅或深的切身体会。我的看法是：化学竞赛不需要搞，因为竞赛题基本都是些大学课程题目，可以通过提前自学大学课程来获奖，对个人智力的提高、国家人才的选拔的效用几近于无！物理竞赛可能比化学竞赛好些，但我估计（此处因为高中未参加物理竞赛而没有把握）也有类似情况，只是情节相对较轻而已。唯有数学，自学大学课程对奥数没有实质帮助！甚至可说没有任何帮助！唯一的作用是帮助提高整体思维水平，比如学习数学分析、微积分而获得由离散到连续的思维能力。我敢打赌，让中国名校数学系（比如北大数学系、中科大数学系）毕业生参加高中数学联赛，能有最多40~60%拿省一等奖，能有最多10~20%拿冬令营三等奖以上，这还是往高了估计的结果。
: 记得某伟人（似乎是爱因斯坦）说过一句话（大意）：“学习一门科学的精华是离开校门后遗忘后剩下的东西。”——那其实也就是渗透入灵魂中的深入哲学层面的智识！下面我就对你的话逐一作答，来展示我因为参加奥数而获得的这类智识……
: 先严格（！）证明此图形存在：
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a*****g
发帖数: 19398 | 82 小时候家里穷，学校穷，
自己除了教科书没有什么额外的书，学校也根本没有培训竞赛题
拿到的大大小小的奖全是靠悟性。
现在看到从前的竞赛题，如果从前条件好，真可以拿更高级的奖。
【在 C*****d 的大作中提到】
: 写的很好，我也是一路搞竞赛的，不过我是主要搞物理，兼化学，数学最次这样的，
: 也是差一点进集训队。其实这些竞赛最大的好处就象是你说的，培养对科学的直觉力。
: 这也是中国的非竞赛教育里非常欠缺的一块。
: 同时，这个直觉力靠别人推是推不出来的，只能靠自推。我一直到高中才有机会接受所
: 谓的竞赛培训，但之前初中就拿了几个省一等奖了。在真正接受竞赛培训之前，靠的就
: 是一本题集，自己按自己的兴趣看。这个过程可以说是我整个学习生涯中最有意义的一
: 段。
: 我自己的经历也影响我对教育小孩的观点。父母能做的其实就是在看到孩子做学校的作
: 业毫无困难的时候，给买一本奥数/奥物/。。。题集罢了。我当时还是自己要求买的不
: 是爸妈主动的。
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p**s
发帖数: 2707 | 83 前两个方程没问题，第三个不知道哪里来的。
如果不用切点圆心共线，可以求r的值，使方程1，2只有一组解。
两个方程消掉b，得到一个a的二次方程，令delta=0，得到一个r的方程，解出来的结果是
r=(sqrt(5)+-1)/4,其中r>1的解是两个圆外切
【在 h**s 的大作中提到】
: 1. 按照图，右上小圆的圆心坐标是（2r，r), 切点是（a，b）
: 我们有：
: a×a + b×b = 1
: （a-2r）（a-2r）+（b-r）（b-r）=r×r
: （b-r）（b-r）=（3r-a）（b）
: 该方程的唯一解是a=3r； b=r
: 这个解是错误的，因为依照这个解，显然大小圆圆心和切点不在一条直线上。
: 2.大小圆与切线共直线的错误：循环论证：
: 就是，先假设我们能做出这个图形，那么，小圆与大圆相切，那么三点共直线。
: 同时，三点共直线也可以证明小圆和大圆相切。
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p**s
发帖数: 2707 | 84 证明存在一个这样的圆，是北京市数学竞赛的题；最简单的情况，n=2，是91年IMO国家
队选拔题；证明圆的个数和n奇偶性相同，是APMO试题。
所以这道题本身，绝对是IMO难度的题，一个帅哥瞬间就能做出来，你居然错过了，啧
啧，太可惜啦。。。
我都不记得我爸具体怎么证的了。当然大概的道理记得，严格的证明忘掉了。那人就讲
了个大概的道理就算他对了。我给他出了好多题，那时候记性很好，记得很多题目，他
每个都是马上答，只可惜我觉得这个人的性格有问题,不然肯定偶像他了。（知道我要
出国莫名奇妙骂了我还不理我了，所以我也不想理他了。
我还在上面扮男生追mm玩。
【在 q****i 的大作中提到】
: 我在qq的北大聊天室.....:)
: 当然那人不一定是北大的，我只知道他专业是ee，他可能特别自傲，还给我看了他的视
: 频，是个年轻帅哥。光给个答案没用的，这不是填空或者选择题，这是一道证明题。我都不记得我爸具体怎么证的了。当然大概的道理记得，严格的证明忘掉了。那人就讲了个大概的道理就算他对了。我给他出了好多题，那时候记性很好，记得很多题目，他每个都是马上答，只可惜我觉得这个人的性格有问题,不然肯定偶像他了。（知道我要出国莫名奇妙骂了我还不理我了，所以我也不想理他了。
: 那上边也很多比较弱的人，有的人和我聊了天就说我一定是北大的，hehe特别好玩。我还在上面扮男生追mm玩。
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m*****8
发帖数: 4059 | 85 据说她爹爹初中水平自己琢磨出来了～
黄老邪的女儿怎么看得上ｑｑ上卖弄ｉｑ的小帅哥呢？
还是要温柔的郭大侠才罩住阿：）
【在 p**s 的大作中提到】
: 证明存在一个这样的圆，是北京市数学竞赛的题；最简单的情况，n=2，是91年IMO国家
: 队选拔题；证明圆的个数和n奇偶性相同，是APMO试题。
: 所以这道题本身，绝对是IMO难度的题，一个帅哥瞬间就能做出来，你居然错过了，啧
: 啧，太可惜啦。。。
:
: 我都不记得我爸具体怎么证的了。当然大概的道理记得，严格的证明忘掉了。那人就讲
: 了个大概的道理就算他对了。我给他出了好多题，那时候记性很好，记得很多题目，他
: 每个都是马上答，只可惜我觉得这个人的性格有问题,不然肯定偶像他了。（知道我要
: 出国莫名奇妙骂了我还不理我了，所以我也不想理他了。
: 我还在上面扮男生追mm玩。
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q****i
发帖数: 6923 | 86 多谢宝贵意见，我记在email并cc ld了。
【在 e**i 的大作中提到】
: 你ld应该是那种先天好、后天功夫不够的，感觉就象91年底时的我，基础不够扎实，所
: 以发挥时好时坏。我搞数竞的最大经验是：数学是所有学科中最强调基本功、连贯性的
: ，前面基础不扎实后面就跟不上。所以如果孩子学数学吃力，首要的事是让他（她）从
: 加减乘除开始往后疏理，在哪个年级的功课开始出问题就从哪儿开始补，比如高一学生
: 做初二的较难题做不出，而初二以前的难题都没问题，就从初二的功课开始补…… :)
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q****i
发帖数: 6923 | 87 我爸做了一个月啊。。。
当年我爸跟我说，做不出的题都要背下来，方便平时想，过段时间就做出来了。看到erli写他如何自己下功夫去学习数学，我想一个良好的学习习惯和方法真是非常重要。我要是真的和我爸生活在一起可能可以养成良好的学习习惯，说不定能混上北清（我高考成绩还是够北清的，只不过不敢报）。我高中的时候，别说好好学习好好做题，起码的听课都不能保证。到了上午第三和第四节课就开始走神，害怕回家家里人又吵架。身体也不够好，每天下午跑个４００米回家７点钟开始做题，做到８点做不出就睡觉。所以后面的大题都做不出来啊，我那时候要是真的做不出的题就背下来那我得背多少题啊。现在身体也不好，干点啥稍微费点力就累，也不知道是真的笨还是体力不好。【 在 miaomi8 (miaomi8) 的大作中提到: 】 |
q****i
发帖数: 6923 | 88 ls这么多玩过MO的人啊。好景仰。。。秒杀IMO，那那个人的智商有多高啊，莫非是天
外的天？找了智商超高的人不一定幸福的。还有这个缘分真的是老天注定的，qq上认识
的，把握住的机会不大啊，说不定年龄性格都不合适。当年我自命清高，凡是有点想谈
恋爱架式的都不加，加的都是正常说话的人，不过我好歹应该把他留在qq上哈，现在qq
上还有好多当年灌水加的人，大部分都是社会底层。。。
【在 p**s 的大作中提到】
: 证明存在一个这样的圆，是北京市数学竞赛的题；最简单的情况，n=2，是91年IMO国家
: 队选拔题；证明圆的个数和n奇偶性相同，是APMO试题。
: 所以这道题本身，绝对是IMO难度的题，一个帅哥瞬间就能做出来，你居然错过了，啧
: 啧，太可惜啦。。。
:
: 我都不记得我爸具体怎么证的了。当然大概的道理记得，严格的证明忘掉了。那人就讲
: 了个大概的道理就算他对了。我给他出了好多题，那时候记性很好，记得很多题目，他
: 每个都是马上答，只可惜我觉得这个人的性格有问题,不然肯定偶像他了。（知道我要
: 出国莫名奇妙骂了我还不理我了，所以我也不想理他了。
: 我还在上面扮男生追mm玩。
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