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发帖数: 2939 | 1 ☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Sun Jun 30 11:44:29 2013, 美东) 提到:
具体是这样: 如图, 陀螺理想化模型为一个零质量的杆顶着一个均匀质量的圆盘, 圆盘
重心为C, 陀螺支撑点为O, 固定O点 (就是只是固定O点的位置, 陀螺杆本身是可以往任
意方向摆动的), 初始状态时, 陀螺绕杆的角速度为w0, 杆与竖直方向有一个小的夹角
a0, 初始状态时陀螺重心速度为0. 杆长为D.
计算方法: 建立坐标系, 以柱坐标描述重心的位置C=C(r,theta,z), 由于杆长固定, 故
z=sqrt(D^2-r^2), 相当于重心是两个自由度: r, theta (也就是可以用极坐标描述),
t=0时, theta=0, theta'=0, r=D*cos a0, r'=0; 陀螺还有一个自由度, 是绕杆的角速
度w, 这个w在t=0时的值为w0.
考虑陀螺的拉格朗日量, 即动能-势能.
具体表达式很长, 我会略去一些不必要的部分:
首先考虑陀螺的重心速度对应的平动动能, 重心速度由重心坐标对时间的导数完全确定
, 也就是说这是个只与r, theta, r', theta' 相关的物理量. 然后考虑转动能, 转动
能分为两部分, 一部分是支点关于重心转动产生的转动能, 这一部分实际上是由支点相
对重心的速度 (其实也就是重心速度的反向, 因为支点是固定不动的) 与杆长, 和杆转
动方向对应的转动惯量 (这是个常量) 有关, 也就是仍然只和r, theta, r', theta'相
关.
唯一与w相关的能量是陀螺绕杆自转的能量, 这一部分也仅与w有关, 考虑这个自转方向
对应的转动惯量 (仍然是个常量), 这一部分的能量是与w的二次方成正比.
势能部分: 只考虑重力势能, 重力势能只与r有关.
所以拉格朗日量的表达式是这样的: L = A*w^2 + f(r,theta,r',theta')
其中A*w^2表示的是陀螺绕杆自转的转动能, 后一部分f是拉格朗日量的其余部分, 均与
w无关.
现在, 广义坐标我们取为w关于t的积分 (也就是陀螺绕杆的自转角度, 我们记为phi),
以及r, theta, 广义速度对应的就是w, r', theta'
注意L表达式中不显含phi, 并且phi对应的广义动量: p = partial{L} / partial{w} =
2*A*w
由于dp/dt = partial {L} / partial {phi} =0
故w'=0, 于是w实际上是个常量. 这就是是说, 拉格朗日量中的沿杆自转的能量并不与
其他的能量进行任何交换, 而L中不含A*w^2的部分 (即f) 实际上对应的是初始角速度
为0时的陀螺能量.
这就是说, 陀螺沿杆自转的能量其实对陀螺质心运动不会有任何影响 (因为陀螺沿杆自
转的能量在拉格朗日量中的表达式以及对应的拉格朗日方程中和其他各项其实是独立的
, 互相根本没有任何作用, 也就是说如果陀螺在初始时刻有一个自转角速度w, 那么他
这个角速度会随着陀螺的运动一直保持下去, 陀螺的运动无非就是无自转的状态 (倒下
) 附加了一个独立的角速度而已, 这个角速度本身对质心轨迹不产生影响)
简要来说, 就是: 在这些前提下, 陀螺初始时刻到底有没有沿杆的自转速度, 对陀螺的
质心运动根本不产生影响.
这个结论似乎和主流理论力学上的不符, 请问我这是错哪了?
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addin (add+in) 于 (Thu Jul 4 11:54:03 2013, 美东) 提到:
转动动能部分w应该和另外两个量有交叉项。圆盘的角速度到局部坐标系上
后应该在w方向上有分量。
,
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plus (祝阳阳小妞豆豆早日康复) 于 (Thu Jul 4 12:01:41 2013, 美东) 提到:
转动动能不对
,
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l63 (l63) 于 (Thu Jul 4 12:38:12 2013, 美东) 提到:
为什么会有交叉项?
A*w^2单纯指 "沿杆自转" 的能量, 这里面的角速度w的方向和杆本身转动的方向是垂直
的呀.
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l63 (l63) 于 (Thu Jul 4 12:38:41 2013, 美东) 提到:
转动动能是陀螺绕杆转的能量加上杆转动产生的能量, 有什么错误么?
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l63 (l63) 于 (Thu Jul 4 12:41:00 2013, 美东) 提到:
之前数学版上有人说是错在我选的 "广义坐标" 已经不满足拉格朗日方程所要求的广义
坐标应有的条件了. 如果照我这么弄, 得把非惯性力啥的加进去.
不过其实我还是没搞懂, 因为我现在对拉格朗日方程还是一知半解.
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plus (祝阳阳小妞豆豆早日康复) 于 (Thu Jul 4 13:25:07 2013, 美东) 提到:
Google刚体动能
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pussykinng (普希金) 于 (Thu Jul 4 14:22:26 2013, 美东) 提到:
靠，水版啥都有
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addin (add+in) 于 (Thu Jul 4 15:02:43 2013, 美东) 提到:
为什么是垂直的？比如说这个圆盘高度不变。一边自传，一边绕竖直的轴公转。
那么公转的角速度是竖直向上的。自传的角速度是垂直朝外的，这两个方向
不垂直。
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l63 (l63) 于 (Thu Jul 4 19:55:39 2013, 美东) 提到:
一个角速度方向在圆盘内(公转), 另一个垂直于圆盘(自转), 为什么不垂直?
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l63 (l63) 于 (Thu Jul 4 20:01:44 2013, 美东) 提到:
我似乎已经明白错在哪了.
角速度w的积分是一个说不清楚的物理量, 并不是一个 "广义坐标".
T和V的表达式本身都是对的, 但是还没有定义清楚广义坐标, 所以就没有拉格朗日量的
具体函数表达式, 因为连自变量都没搞清楚.
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addin (add+in) 于 (Thu Jul 4 21:03:40 2013, 美东) 提到:
公转角速度不在圆盘内，它竖直向上。
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addin (add+in) 于 (Thu Jul 4 23:00:45 2013, 美东) 提到:
差不多了。角度姿态不是向量，虽然角速度是。所以一般用角度作为一个
坐标。
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l63 (l63) 于 (Fri Jul 5 01:37:09 2013, 美东) 提到:
圆盘如果竖直 "公转" 的话, 那竖直向上的方向一直在圆盘内呀.
为确保我们谈的是一个东西, 我附图, 你看看你说的是这种情况不?
a是 "沿数值轴转" 的角速度, w是在这个基础上沿 "过对称中心并垂直盘面自转" 的角
速度.
这两个角速度的方向应该是垂直的呀.
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rabbit8 (兔子) 于 (Fri Jul 5 06:59:57 2013, 美东) 提到:
"拉格朗日量中的沿杆自转的能量并不与 其他的能量进行任何交换, "
问题出在这一句。
,
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l63 (l63) 于 (Fri Jul 5 09:53:10 2013, 美东) 提到:
这个根据经典结论来看当然是错的. 但是方程告诉我们确实是这样的.
所以错在方程.
我已经基本搞清, 拉格朗日量中的广义坐标要求能够描述对象的 "位型", 我给的这三
个坐标 (r,theta,w的积分) 不能够确定对象的 "位型", 所以不能当做广义坐标.
所谓 "位型", 就是给一组坐标后, 可以确定体系中每一个 "点" 的位置.
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addin (add+in) 于 (Fri Jul 5 20:55:06 2013, 美东) 提到:
我说的不是这种情况。回到你一楼的图。夸张一些，你想象一个没有质量的
地球。北纬30度的地方水平放置一个有质量的旋转圆盘。旋转圆盘在自传，同时
它也跟着地球绕着南北极轴线做公转。自传的角速度方向垂直于于盘面，随
地球公转的角速度方向和南北极轴线平行，和自传角速度方向有60度夹角。
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l63 (l63) 于 (Fri Jul 5 21:08:32 2013, 美东) 提到:
但这个和一楼中的方法有什么关系?
一楼中的转动能是分解为 "杆旋转" 的部分, 和 "圆盘绕杆转" 的部分.
这两个角速度方向是垂直的呀.
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Rohto (Rohto) 于 (Fri Jul 5 21:21:32 2013, 美东) 提到:
晕
,
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addin (add+in) 于 (Fri Jul 5 21:55:50 2013, 美东) 提到:
我说了这么半天就是告诉你，"杆旋转"的角速度和 "圆盘绕杆转"的
角速度方向是不垂直的。所以转动的能量方程里面w会和r'/theta’有交叉项。
你前面画的示意图是圆盘沿大圆运动时的特例。在大圆上时，角速度方向
是垂直的。
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l63 (l63) 于 (Fri Jul 5 23:34:37 2013, 美东) 提到:
我明白你的问题了. 你没搞懂我说的 "杆旋转" 的意思.
我的 "杆旋转" 并不是指支点绕定点 (这个定点指重心在支撑面上的垂直投影) 的旋转
(即进动现象), 而是指 "杆绕陀螺重心转动" 的这个现象.
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addin (add+in) 于 (Sat Jul 6 09:13:52 2013, 美东) 提到:
这么说吧。杆旋转的即时速度（r,theta变化导致的）和自转角速度在方向上是
垂直的。杆旋转的速度总是在圆盘内，而自传角速度总垂直于圆盘。
但是杆旋转的角速度和自传角速度方向是不垂直的。所以你方程中的转动
动能部分是错误的。你看一下这个地方关于转动动能表示的推导
http://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-07-d
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l63 (l63) 于 (Sat Jul 6 14:06:55 2013, 美东) 提到:
thx. 欧拉角我已明白.
我的意思是这样: 我说的 "自转" 不是欧拉角中的那个 "自转角" 对应的自转方式.
三维空间中, 刚体只有一个自转角速度, 我已经把这个自转角速度分解了, 一部分叫做
"杆绕质心自转", 另一部分叫做 "圆盘绕杆自转", 其中圆盘绕杆自转的那部分 (似乎
被你直接称为了 "自转", 这个说法有点问题) 的角速度 (之前说的w)的方向, 确实是
和杆自转的角速度垂直的.
你也说了 "杆旋转的速度总是在圆盘内" (实际上这个说法不太准确, "旋转" 是不能被
称之为 "速度" 的, 我姑且默认你是指支点相对重心的速度方向在圆盘内), 并且我们
还知道 "整个杆与圆盘垂直" (也就是质心到支点这个矢量与圆盘垂直), 那么自然有 "
杆绕质心旋转的角速度在圆盘内" (因为 "质心到支点" 这个矢量 叉乘 "支点相对质心
的速度" 会落在圆盘内, 这就是杆绕质心旋转的角速度)
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l63 (l63) 于 (Sat Jul 6 14:16:12 2013, 美东) 提到:
我现在搞明白了欧拉角的那种做法, 确实非常巧妙.
不过我仍认为, 我之前的转动动能算的并无问题, 只是w的积分不符合广义坐标的要求,
所以不能用拉格朗日方程来算. (但能量本身的表达式是对的)
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plus (祝阳阳小妞豆豆早日康复) 于 (Sat Jul 6 15:44:23 2013, 美东) 提到:
再说一遍，你之前的转动动能是错误的。
1，你选支撑点为原点，是非惯性系，需要加入离心力势能
2，质心坐标xyz加上你图上的a,theta和W(w对时间积分，陀螺自转绕过的角度）可以唯
一确定系统状态，可以作为广义坐标，因为支撑点在平面内，所以z和a有约束关系，可
以去掉z。
3，W是陀螺绕自转轴转过的角度，作为广义坐标没问题。在有摩擦力的时候，W出现在
摩擦力做功项，无摩擦力时，L不显含W，所以对应广义动量守恒，但是不是w守恒。
4，刚体动能等于质心平动动能加上绕质心转动动能，把转动动能分成两部分是错误的。
5，绕质心的转动是w,a',theta'的合成，这是三个角速度矢量，theta'沿z轴，a'在xy
平面内，与陀螺轴垂直，在w很大时，总角动量接近w，但方向大小都不等于w，由此计
算的转动动能，既包含w^2，也包含w和a',theta'的交叉项，所以你的L = A*w^2 + f(r
,theta,r',theta')是完全错误的。
求,
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l63 (l63) 于 (Sat Jul 6 21:56:19 2013, 美东) 提到:
让我们抛弃既有的成见, 我来仔细说说为什么之前的能量表达式是对的, 以及为什么之
前的方法算出能量后不能继续用拉格朗日方程:
首先陈述结论: 所有的分歧都是因为你们没有理解我所谓的 "绕杆自转的角速度w" 的
意思. 我这里的 <绕杆自转的角速度w> 并不是欧拉角中的那个自转角对时间的变化率,
也就是说, w对时间的积分(你称为大W), 并不是三个欧拉角中的自转角.
那什么才是我说的w呢? 我们考虑1楼中的那种对称陀螺在三维空间中无拘束地运动 (即
不考虑 支撑平面), 这样他就有六个自由度, 重心的位置是其中三个, 剩下三个自由度
, 可以选为三个欧拉角, 但也可以选其他的物理量, 比如我们可以这样选:
考虑支点O相对质心C的速度 (是一个矢量), 由于O相对C的速度只能垂直于OC, 所以这
是两个自由度, 当O相对C的速度确定了以后, 我们考虑圆盘边界上一点P (任意固定一
个点都可以, 如图) 相对质心C的速度, 同理, 这个速度必须垂直于OC, 所以可以分解
为沿杆方向的速度分量和沿圆盘边界切线方向的速度分量, 但我们又知: 沿杆方向的速
度, 实际上是被支撑点O相对于C的速度(矢量) 决定了的, 因为O相对C的速度沿OP的分
量必须与P相对C的速度沿OP的分量一致, 这个要求就能够确定P相对C的速度在沿杆方向
的分量, 所以剩下的一个自由度是:P相对C的速度在圆盘边界切线方向的分量. 当三个
自由度给出了之后, 陀螺上任意一点的速度都是可以算出来的, 并且容易知道, P相对C
的速度沿圆盘边界切线方向的分量的大小是与P的选取无关的, 并且总为顺指针或逆时
针 (这里的逆时针方向是指, 将圆盘作为xOy坐标平面, CO作为z轴, 由右手定则给出圆
盘上的逆时针方向). 现在, 相当于陀螺上任意一点相对质心C的每一刻的速度都有了具
体的表达式, 我们只要解相应的微分方程, 就可以确定陀螺上任意一点在任意时刻的坐
标, 所以这同样是3个可靠的自由度.
那什么才是我说的 "角速度w" 呢? 我的w就是指P相对C的速度沿圆盘边界切线方向的那
个分量对应的 "饶杆旋转" 的转动能. 注意, 三维空间中的刚体在某个固定时刻, 确实
是只有一个瞬时角速度方向, 但这并不妨碍我们将其分解. 这里我的分解方式就是: 考
虑这一时刻支点O相对C运动的瞬时速度对应的转动能 (在圆盘上, 这个 "转动" 对每个
点来说, 都意味着垂直于圆盘方向的速度分量所产生的动能), 以及圆盘上一点 "绕杆
旋转" 对应的动能 (在圆盘上, 这个 "转动" 对每个点来说, 都意味着平行于圆盘的方
向 (即圆盘内的方向) 的速度分量所产生的动能, 更确切的说, 给圆盘上一点Q, 则这
个平行于圆盘的速度方向势必垂直于CQ), 其中第一个 "支点旋转" 对应的动能, 可以
完全由a,theta及其导数决定. 第二个 "绕杆旋转" 对应的动能需要由角速度w计算, 而
w和 "圆盘边界上一点P沿圆盘边界切线方向的速度分量的值" 互相决定的, 在这个意义
下, 这部分饶杆旋转的动能就可以直接写成A*w^2
图示中, 红色线是支撑杆, 黑色线是圆盘边界, 蓝色箭头都表示速度矢量, 其中V1是O
相对C的速度矢量, V1平行于圆盘 (两个自由度), V4是P相对C的速度矢量, 其中V2是其
垂直于圆盘的分量, 其值可以由V1决定, V3是其沿圆盘边界切向的分量 (一个自由度),
绿色为角速度w的旋转方向, w和V3互相决定.
的。
xy
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l63 (l63) 于 (Sat Jul 6 22:09:25 2013, 美东) 提到:
(接上楼)
如果我们定义W为w关于时间的积分, 那a,theta,W到底能不能够确定陀螺的位型呢? 事
实上是不可以的. 如图示, 如果我们固定重心C不动, 只动支点O, O的轨迹是一个球面,
我们将陀螺圆盘主体标为绿色, 考虑O沿球面的1/8部分的边界移动的情况 (即令O沿途
中紫色闭合曲线走一圈), 并在这个过程中令w始终为0, 那么会发生什么呢? 仔细分析
一下就可以看出, 虽然重心C和支点O的位置都没变, 但是圆盘 (绿色的陀螺主体部分)
逆时针旋转的90度. 但对比 "O沿紫色有向闭曲线走动" 的开始时刻和终止时刻, a,
theta,W的值是一致的, 所以说, a,theta,W不足以确定陀螺的位型.
但这是否说明自由度引入的有问题呢? 因为上一楼不是才说过陀螺由那6个自由度是可
以决定位型的吗? 事实上这并不矛盾, 上一楼中说的决定位型, 是需要对速度进行积分
的, 而速度本身还依赖于a和theta的导数, 也就是说陀螺的位型是可以由我给出的六个
自由度决定的, 但是只用a,theta,W是不行的, 如果用a,theta,a',theta',w这五个自由
度, 就可以将陀螺的位型决定出来 (注意, 重心的位置是可以用以上这五个自由度表示
出来的)
由于a,theta,W无法决定陀螺的位型, 所以不能拿这三个量作为一组广义坐标.
的。
xy
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plus (祝阳阳小妞豆豆早日康复) 于 (Sat Jul 6 22:12:46 2013, 美东) 提到:
算了，不说了，发现你连角速度方向都没搞清楚。
率,
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l63 (l63) 于 (Sat Jul 6 22:25:07 2013, 美东) 提到:
补充两点:
1. 我后来在欧拉角的广义坐标系下考察了w的表达式, 发现 w = C'+B'*cosA, 其中A,B
,C分别为章动角, 进动角, 自转角 (这里指欧拉角中的那个自转角), 如果我们把一楼
中的能量表达式全部用欧拉角表达出来, 那和经典解法是一致的.
2. 欧拉角的那个解法里, 我认为把 "自转角" 称为 "自转角" 是一种误读, 我自认为
我这里的w才是更贴切表达了 "沿杆自转" 的角速度 (虽然w和W并不如欧拉角中的 "自
转角" 好用).
的。
xy
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l63 (l63) 于 (Sat Jul 6 22:28:28 2013, 美东) 提到:
我已经做了完全的验算, 结果和经典算法是一致的. 你既然不肯抛弃成见, 我也没办法
.
我只能再强调一遍, 你说的 "绕杆自转角速度" 和我说的 "绕杆自转角速度" 不是一个
东西.
你不看我写的东西, 我只能说我白写了这么多.
过一阵我会用我的方法把陀螺问题的拉格朗日方程列出来, 其中可以完全抛弃 "角速度
" 这个蹩脚的概念.
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l63 (l63) 于 (Sat Jul 6 22:38:03 2013, 美东) 提到:
1. 我图里根本就没画过角速度方向.
2. 你要是认为我没搞清楚角速度方向, 你倒是可以明确说出那个地方不对.
---
注: 你这种回复, 我觉得是很没意思的. 比如我可以扔给你一句 "你根本连我的刚体的
自由度表示都没弄明白" 而丝毫不加解释, 这只会使得你感觉很不爽, 并且无助于我们
解决问题. 你没有必要单单只是为了让我不爽而做一个这种 "断言式的回复" (你如果
只回复这个, 你完全可以不回复), 如果你有哪怕那么一点点试图让我明白我错在哪里,
你可以多解释或是多指点我几句.
我现在认为我完全正确, 原因之一是, 我的方程已经和经典方程一致了, 所以我不会认
为有错.
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l63 (l63) 于 (Sat Jul 6 22:40:09 2013, 美东) 提到:
另外, 关于你所谓 "a,theta,W可以确定陀螺的位型", 我在27楼已经将此证伪. 你可以
看看那个例子, 然后再想想我说的 "w" 到底是什么物理量.
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plus (祝阳阳小妞豆豆早日康复) 于 (Sat Jul 6 22:42:12 2013, 美东) 提到:
你这个例子不过说明了转动角不是矢量，随便找本普通物理，翻到角动量那章，都会告
诉你转动角不能叠加。
你这个例子的开始结束状态，W差了pi/2，所以不是相同状态。
面,
)
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plus (祝阳阳小妞豆豆早日康复) 于 (Sat Jul 6 22:47:33 2013, 美东) 提到:
不说了，你的w和我的w完全是一回事，我要说的前面都写了，你看不懂的话，就当我白
写好了。
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l63 (l63) 于 (Sat Jul 6 22:53:59 2013, 美东) 提到:
我没有在叠加 "转动角" , 我叠加的是 "速度矢量", w只是 "P相对C沿圆盘边界切向速
度对距离的无量纲化" 而已, 其单位与普通的角速度单位一样, 可以直观理解为 "绕杆
自转的角速度".
另外, 在27楼的物理过程中, w始终为0, 你怎么能说w关于时间t的积分会是pi/2呢?
还是那句话, 我认为你没搞懂我的w是什么意思. 我的w不是 "欧拉自转角对时间的导数"
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l63 (l63) 于 (Sat Jul 6 22:55:08 2013, 美东) 提到:
我只问一句, 既然你的w和我的w完全是一回事. 那在27楼的例子中, w明明在整个移动
过程中始终为0, 你缘何说出W在起点和终点会差一个pi/2?
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l63 (l63) 于 (Sat Jul 6 22:58:03 2013, 美东) 提到:
如果你脑子里不要想欧拉角等概念, 我觉得你就可以明白我说的w到底是什么意思.
注: 我认为你不明白我说的w的意思很简单, 因为你按照你对我说的w的理解, 是无法解
释27楼中的情况的. 所以 "我说你没懂我的w" 并不是我很主观自大地认为你没看懂我
26楼的表述, 而是因为你后续表述出现了明显的谬误.
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plus (祝阳阳小妞豆豆早日康复) 于 (Sat Jul 6 23:14:08 2013, 美东) 提到:
我不懂什么欧拉角，我所有讨论都是基于你第一个帖子，用的符号也全是你写的。你在
这里扯了半天欧拉角，然后就栽到我脑子里了？
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l63 (l63) 于 (Sun Jul 7 00:43:03 2013, 美东) 提到:
好的好的, 我是在臆测, 因为我看你说的概念很像欧拉角里的自转角.
那其他就不说了. 你怎么解释27楼的 "谬误"?
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l63 (l63) 于 (Sun Jul 7 01:01:20 2013, 美东) 提到:
我来逐点反驳一下你这一楼的说法:
1. 1楼的题目是 "固定支撑点", 故以支撑点为原点当然是惯性系.
2. 质心坐标是直接可以由a,theta确定的, 不过再加上W, 无法确定陀螺的位型, 这一
点就是我一直在让你解释的27楼的 "谬误"
3. 同2, W和a,theta一起作为广义坐标系, 是有问题的.
4. 转动动能当然可以分为两部分, 只是看你怎么分而已, 要是分的好, 那自然算起来
就容易, 在这里, 我把每一个质量微元相对质心C的速度方向都分为了两个垂直的方向,
算转动能的时候自然可以简单相加.
5. 总角动量确实不等于w对应的角动量矢量, 但是不代表转动能中就一定会出现w和其
他物理量的交叉项, 而事实上是没有的 (你可能没自己仔细算过). 我可以用
转动惯量的概念解释如下:
在如26楼图示的分解中, w的方向是向上的, 是一个主轴方向(0,0,1), V1对应的角动量
的方向在圆盘内, 也可以看做一个主轴方向 (1,0,0),
记V1对应的角速度对应的角动量矢量是 (a,0,0), w对应的角动量矢量是(0,0,c),
转动能的交叉项实际上就是 -ac*xz 关于质量微元的积分, 由于x,y,z选取的是主轴方
向, 所以这个积分是0.
你可以自己算一下.
的。
xy
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Road16 (Shining) 于 (Sun Jul 7 01:24:43 2013, 美东) 提到:
homework?
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l63 (l63) 于 (Sun Jul 7 01:40:22 2013, 美东) 提到:
no, pure interest
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plus (祝阳阳小妞豆豆早日康复) 于 (Sun Jul 7 01:49:01 2013, 美东) 提到:
已经说过了，W差了pi/2，所以就是两种不同状态。
这样吧，你先说起点处a,theta,W是多少，转了三个角，分别是绕什么轴转的，转了三
次，a,theta,W分别变成多少？
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dephpei (Walk with the Earth Mother.) 于 (Sun Jul 7 02:16:44 2013, 美东) 提到:
擦，既然要定量，就好好读读刚体定点转动。
别只是根据自己知道的那些东西瞎搞，拉格朗日绝对不是你写那样。
,
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l63 (l63) 于 (Sun Jul 7 03:18:00 2013, 美东) 提到:
劳烦您给说说拉格朗日应该是什么样.
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l63 (l63) 于 (Sun Jul 7 03:19:35 2013, 美东) 提到:
我反正是把这个事情错在哪里搞懂了.
错误就是错在w的积分不能和其他两个量一起拿来当做广义坐标组.
扯什么惯性系非惯性系的, 我只能说你们没仔细看我的方法, 也不完全懂拉格朗日方程
.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Sun Jul 7 03:33:06 2013, 美东) 提到:
我再表述一遍我的问题吧:
W对时间t的导数是w, 但是w恒为0, 这说明W在起始和终止的值应该相同. 你如何说明这
句话错在了哪里? (如果错了的话)
------
对于27楼运动过程的描述, 我把图重新画成便于描述的样子 (会和27楼在表面上有一点
不同, 实际没区别),
图1: 图中红色线为零质量支撑杆, 绿色部分为陀螺主体 (均匀质量圆盘). 固定重心C,
以C为原点建立坐标系, 坐标轴为x,y,z, O是陀螺杆的末端, 我们不妨设CO的长度是1,
a是向量OC与竖直方向 (即(0,0,1) ) 的夹角, 初始时刻 a=0, theta是指 "O在平面z=
0内沿竖直方向(0,0,1)的投影与C的连线" 与x轴的夹角. 简单来说, 如果O点在某一时
刻的坐标是 (Ox, Oy, Oz), 那么theta就是(Ox,Oy)这个向量在xCy平面 (即z=0)的的极
坐标表示下对应的角度值. (注意, 当a=0或pi时, Ox=Oy=0, 这时theta没有一个确定的
角度, 但theta的值并不影响位型, 我们可以在具体处理时选取自己喜欢的theta)
我们再选一个圆盘上的参考点P (如图1), 初始时刻P的位置是(1,0,0), w的值实际上就
是P点速度沿圆盘切线方向的速度分量.
初始时刻: a=0, 我们选取theta=pi/2(这是为了使得接下来的移动过程中theta连续变
化), w=0, 定义初始时刻的W为0. 圆盘所在区域是 {(x,y,z): x^2+y^2≤1且z=0}.
图2: 现在我们开始将O点沿图2中紫色标识方向移动. 同时令w始终保持为0 (也就是说P
没有沿圆盘切线方向的速度, 这一要求和O点的轨迹共同决定了P点的轨迹). 在整个过
程中, 只需考察三个点的移动轨迹即可, 我们考察C,P,O, 其中C不动, 不用再去管, 以
下进一步分段讲解移动的过程, 看P和O的移动.
图3: 第一阶段, O从(0,0,-1)沿紫色线移动到了(0,1,0), P点保持不动 (以一个黄色的
定点标识), 第一阶段结束后, a=pi/2, theta=pi/2, W=0
图4: 第二阶段, O从(0,1,0)沿紫色线移动到(1,0,0), 同时P从(1,0,0)沿黄色线移动到
(0,-1,0), 第二阶段结束后, a=pi/2,theta=0, W=0 (注意图中绿色部分仅仅指y=0的部
分, 并非整个球体内部)
图5: 第三阶段, O从(1,0,0)沿紫色线移动到(0,0,-1), 同时P保持不动, 第三阶段结束
后, a=0, theta=0, W=0.
以上W恒为0的原因是, 移动过程中, P点始终没有沿圆盘边界切线方向的速度分量, 故w
恒等于0, W也恒为0.
故起初时a=0, theta=pi/2, W=0
结束时a=0, theta=0, W=0
另外, a=0时, theta对陀螺位型没有影响, 可以取任意值. 所以起始时和结束时的 (a,
theta,W)并无变化, 但陀螺的位型显然有变化, 故(a,theta,W)不能作为广义坐标组.
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l63 (l63) 于 (Sun Jul 7 03:40:28 2013, 美东) 提到:
注, 如果你觉得那个 "a=0时theta不影响位型" 的说法有点奇怪, 你可以让O点的起始
位置稍稍偏离(0,0,-1) 一点, 并不要让移动过程中的O点x,y坐标同时为0 (只要稍稍偏
离一点原来的轨迹就行了), 这对结果影响很小, 并且可以让你真的看到 "唯一的一组(
a,theta,W)却导出了两个不同的位型".
如果你不能理解这个, 我可以再继续画图, 但是O点偏离(0,0,-1)一些的话, 图不是很
好画 (因为陀螺主体圆盘的部分就不是在某两个坐标轴张成的平面上了, 会有个小夹角)
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guvest (我爱你老婆Anna) 于 (Sun Jul 7 17:02:00 2013, 美东) 提到:
你的动能写的是错的,还没到拉格朗日那儿呢.
连牛顿都不需要,你就开始错了.所以你最好谦虚点.不要说人家不懂.
前面几位说的都是对的.addin第一个回帖就写了你漏了个叉乘.
简化到质点情况.
设一个质点坐标是r(t),绕某杆以角速度w1转动,
杆以角速度w2转动.
那么你可以用基本微积分算出来这个质点在绝对坐标下的
速度r'(t)
T=1/2*m*r'(t)^2就是动能.
你看看这个动能是不是一定需要w1,w2两个角速度.
你只用了w1,当然是错的.
刚体的转动惯量是质点运动积分的结果.
那个叉乘项本身不是显然的.
在学动力学之前,你得先把运动学弄清楚才行.
我反正是把这个事情错在哪里搞懂了.
错误就是错在w的积分不能和其他两个量一起拿来当做广义坐标组.
扯什么惯性系非惯性系的, 我只能说你们没仔细看我的方法, 也不完全懂拉格朗日方程
.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Sun Jul 7 19:48:14 2013, 美东) 提到:
1. 你仔细看清楚我写的东西, 我什么时候写过 "动能只与w1有关" ? 我是说, 除去A*
w1^2的转动能部分, 拉格朗日量中的其他部分与w1无关.
摘抄给你我一楼原话如下:
引用----
首先考虑陀螺的重心速度对应的平动动能, 重心速度由重心坐标对时间的导数完全确定
, 也就是说这是个只与r, theta, r', theta' 相关的物理量. 然后考虑转动能, 转动
能分为两部分, 一部分是支点关于重心转动产生的转动能, 这一部分实际上是由支点相
对重心的速度 (其实也就是重心速度的反向, 因为支点是固定不动的) 与杆长, 和杆转
动方向对应的转动惯量 (这是个常量) 有关, 也就是仍然只和r, theta, r', theta'相
关.
唯一与w相关的能量是陀螺绕杆自转的能量, 这一部分也仅与w有关, 考虑这个自转方向
对应的转动惯量 (仍然是个常量), 这一部分的能量是与w的二次方成正比.
势能部分: 只考虑重力势能, 重力势能只与r有关.
所以拉格朗日量的表达式是这样的: L = A*w^2 + f(r,theta,r',theta')
结束引用---
2. 关于有没有叉乘项:单独一个质点 (或者说一个质量微元), 你不以其本身为平动中
心的参考系, 算转动能当然会有叉乘项, 但是在以质心为参考系, 主轴为坐标轴去列方
程, 对每个质量微元的转动能积分完后叉乘项就消掉了. 你以为 "必然有叉乘项", 这
就叫想当然. 我用最简单的速度分解已经明确告诉你们 "没有叉乘项", 你们不信, 我
又用标准的刚体力学转动惯量的知识告诉你们 "没有叉乘项", 你们还不信. 你们其实
根本不自己去算, 一上来就 "必然有这, 必然有那", 反正就是 "我必然错了", 你有本
事自己好好把对称陀螺的转动能算出来, 对比对比看看, 别老想当然.
我只能说你刚体力学学的不扎实, 一知半解, 光会拿概念唬人, 自己动不了笔.
觉得我说的不对? 自己算算, 算完再看, 别想当然. 你说我 "错", 是因为你没有注意
到问题中的很多条件.
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plus (祝阳阳小妞豆豆早日康复) 于 (Sun Jul 7 21:19:35 2013, 美东) 提到:
theta是系统绕z轴旋转角度，不能任意取值
在a=0的时候，z轴跟陀螺自转轴重合，你可以改变theta，但是同时必须也改变W，并保
持theta+W不变，相当于把theta上的角度变化移到W上，a=pi时，必须保持theta-W不变。
故起初时a=0, theta=pi/2, W=0
结束时a=0, theta=0, W=0，你也可以保持theta+W不变，写成(0,pi/2,-pi/2),这样跟
开始的W差pi/2，但是不能写成（0,pi/2,0)，开始结束的坐标就是不同的。
C,
1,
z=
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plus (祝阳阳小妞豆豆早日康复) 于 (Sun Jul 7 21:33:05 2013, 美东) 提到:
O点只要偏离（0,0,-1），你的三个旋转轴就不能完全沿a’或者theta’方向，必然有w
分量，w=0就不成立，最后结果，肯定是a,theta不变，W变化pi/2。
你要是理解不了，可以继续画图，自己拿笔在纸上画即可，没必要贴出来，提示一你点
，三次旋转的方向，在实验室坐标里是不动的，但是a',w是随着陀螺转动的，所以旋转
角在a,theta，W上的分解，在任意时刻都是不断变化的。
最后，我上面都是胡说八道的，你要是看不懂，或者觉得是错的，就不必劳神反驳了。
组(
角)
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guvest (我爱你老婆Anna) 于 (Sun Jul 7 23:24:19 2013, 美东) 提到:
"
陀螺还有一个自由度, 是绕杆的角速度w
"
"
所以拉格朗日量的表达式是这样的: L = A*w^2 + f(r,theta,r',theta')
其中A*w^2表示的是陀螺绕杆自转的转动能.
"
上面是你写的吧? 陀螺绕杆的转动能,你写的只和自转角速度有关.
当然是错的.
"陀螺绕杆自转的能量, 这一部分也仅与w有关"
这个当然也是错的.
w(t)本身是个未知数,你从哪儿看出来的叉乘项等于0?
1. 你仔细看清楚我写的东西, 我什么时候写过 "动能只与w1有关" ? 我是说, 除去A*
w1^2的转动能部分, 拉格朗日量中的其他部分与w1无关.
摘抄给你我一楼原话如下:
引用----
首先考虑陀螺的重心速度对应的平动动能, 重心速度由重心坐标对时间的导数完全确定
, 也就是说这是个只与r, theta, r', theta' 相关的物理量. 然后考虑转动能, 转动
能分为两部分, 一部分是支点关于重心转动产生的转动能, 这一部分实际上是由支点相
对重心的速度 (其实也就是重心速度的反向, 因为支点是固定不动的) 与杆长, 和杆转
动方向对应的转动惯量 (这是个常量) 有关, 也就是仍然只和r, theta, r', theta'相
关.
唯一与w相关的能量是陀螺绕杆自转的能量, 这一部分也仅与w有关, 考虑这个自转方向
对应的转动惯量 (仍然是个常量), 这一部分的能量是与w的二次方成正比.
势能部分: 只考虑重力势能, 重力势能只与r有关.
所以拉格朗日量的表达式是这样的: L = A*w^2 + f(r,theta,r',theta')
结束引用---
2. 关于有没有叉乘项:单独一个质点 (或者说一个质量微元), 你不以其本身为平动中
心的参考系, 算转动能当然会有叉乘项, 但是在以质心为参考系, 主轴为坐标轴去列方
程, 对每个质量微元的转动能积分完后叉乘项就消掉了. 你以为 "必然有叉乘项", 这
就叫想当然. 我用最简单的速度分解已经明确告诉你们 "没有叉乘项", 你们不信, 我
又用标准的刚体力学转动惯量的知识告诉你们 "没有叉乘项", 你们还不信. 你们其实
根本不自己去算, 一上来就 "必然有这, 必然有那", 反正就是 "我必然错了", 你有本
事自己好好把对称陀螺的转动能算出来, 对比对比看看, 别老想当然.
我只能说你刚体力学学的不扎实, 一知半解, 光会拿概念唬人, 自己动不了笔.
觉得我说的不对? 自己算算, 算完再看, 别想当然. 你说我 "错", 是因为你没有注意
到问题中的很多条件.
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l63 (l63) 于 (Sun Jul 7 23:40:11 2013, 美东) 提到:
呵呵, 我再给你画组图吧, 避免47楼的那种奇性太简单了, 你根本就没有抓到问题的本
质.
注:
1. 由于大W和小w容易看混, 我把小w关于t的积分定义成了phi, 希望你不要介意.
2. 由于圆盘不易画出, 我只标识了参考点的位置, 另外附加了圆盘上点对应的集合,
希望你能脑补出圆盘的样子.
变。
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l63 (l63) 于 (Sun Jul 7 23:46:03 2013, 美东) 提到:
你不要 "当然当然" 的, 你说错了, 就指出错在哪里.
"我从哪儿看出来叉乘项是0?" 分解为的两个角速度方向都在主轴方向上, 叉乘项当然
就是0. 即便用最简单的速度正交分解都可以看出来 (你能不能先好好把26楼写的东西
看完?), 你看不出来我有什么办法?
另外, 你要觉得叉乘项不是0, 你可以算一下好吧? 算完再说别人 "当然是错的", 那好
歹还能多点底气.
最后你说了一句 "w(t)本身是个未知数,你从哪儿看出来的叉乘项等于0?" , 我实在不
明白你逻辑在哪, w(t)是已知的还是未知的, 这与叉乘项是不是0有什么关系?
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l63 (l63) 于 (Sun Jul 7 23:49:58 2013, 美东) 提到:
另, 我不知道你说的 "自转角速度" 是什么东西. 如果你是指欧拉角中的自转角对时间
的导数, 那不好意思, 你说的那个东西和我的w不是一个玩意.
我只能再重复一遍, 我的w是指 "圆盘边界上一点相对于质心的速度 在圆盘边界切线上
的投影的速度的模 除以该点到质心的距离后 得到的值", 这是一个自由度, 其物理意
义是圆盘上的点绕杆旋转的角速度.
☆─────────────────────────────────────☆
guvest (我爱你老婆Anna) 于 (Thu Jul 11 21:53:21 2013, 美东) 提到:
靠，不用欧拉角来描述运动，你干吗用E-L方程？
能对吗？
"不用欧拉角的E-L方程"这种东西存在吗？
E-L方程是Newton质点定律+达朗贝尔原理+欧拉旋转迭代定理
的结果。没有欧拉角，是不可能存在的。
另, 我不知道你说的 "自转角速度" 是什么东西. 如果你是指欧拉角中的自转角对时间
的导数, 那不好意思, 你说的那个东西和我的w不是一个玩意.
我只能再重复一遍, 我的w是指 "圆盘边界上一点相对于质心的速度 在圆盘边界切线上
的投影的速度的模 除以该点到质心的距离后 得到的值", 这是一个自由度, 其物理意
义是圆盘上的点绕杆旋转的角速度.
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l63 (l63) 于 (Thu Jul 11 22:06:03 2013, 美东) 提到:
请问所谓的欧拉定理是哪一个定理? 欧拉的定理多得很.
当我逐个指出你回复中的错误的时候, 搬欧拉挡门面就是你唯一的稻草了? 如果你觉得
不用欧拉角就是不对, 大可在我发表23楼后直接回复, 不用叨叨半天再干巴巴的补一句
"你这没用欧拉角描述, 所以肯定是错的".
我看你最好也谦虚点. 你或许若干年前懂一点点刚体力学, 不过我看你现在也忘得差不
多了, 除了拿一些名词来唬人外, 是一点干货也拿不出来了.
你大可先算算这陀螺的转动动能, 对比对比形式, 再说说我有什么错误.
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l63 (l63) 于 (Thu Jul 11 22:09:35 2013, 美东) 提到:
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Lagrange_equation
这是 Euler-Lagrange equation
非常抱歉我没看到这里和你说的什么 "欧拉旋转迭代定理" 有什么关系.
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l63 (l63) 于 (Thu Jul 11 22:11:13 2013, 美东) 提到:
即便是一个无外力状态下的质点的匀速直线运动都可以在直角坐标系下用欧拉-拉格朗
日方程来描述, 我不知道你是怎么得到 "没有欧拉角就没有E-L方程" 这种结论的.
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guvest (我爱你老婆Anna) 于 (Thu Jul 11 22:12:45 2013, 美东) 提到:
欧拉定理:旋转的迭代，仍然是旋转。
从这个定理出发，才能有动能的计算公式。达朗贝尔原理听说过没有？
你要是看过任何一本书上怎么推导的E-L方程。
不可能不知道相对于旋转的旋转是怎么回事。
你那个"动能"是错的。
我给你举个最简单的例子，
w不变，杆转速是0的时候，和杆转速是无穷大的时候，
按你的公式，圆盘的动能是一样的，这可能吗？
☆─────────────────────────────────────☆
guvest (我爱你老婆Anna) 于 (Thu Jul 11 22:13:36 2013, 美东) 提到:
那个是刚体么？
你这儿不是讨论的刚体旋转么。
你要是抬杠，你还可以说任何一个L,都有E-L方程，和物理无关呢。
即便是一个无外力状态下的质点的匀速直线运动都可以在直角坐标系下用欧拉-拉格朗
日方程来描述, 我不知道你是怎么得到 "没有欧拉角就没有E-L方程" 这种结论的.
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guvest (我爱你老婆Anna) 于 (Thu Jul 11 22:18:10 2013, 美东) 提到:
另外转动惯量本身就是和欧拉角有关的。
它就是把一个质点组的运动积分,然后其中一部分可以分出来得到的。
你要是不用欧拉角，用你那个所谓的w,转动惯量说不定都分离不出来。
你上来就说啥转动惯量,不用欧拉角的转动惯量是啥? 你能说出来么?
你都不用琢磨啥E-L方程。
直接算3个质点的旋转的动能叠加，用你的w来算,看看动能之和T1(w)+T2(w)+T3(w)
能分离出来一部分不包含w的不。
欧拉定理:旋转的迭代，仍然是旋转。
从这个定理出发，才能有动能的计算公式。达朗贝尔原理听说过没有？
你要是看过任何一本书上怎么推导的E-L方程。
不可能不知道相对于旋转的旋转是怎么回事。
你那个"动能"是错的。
我给你举个最简单的例子，
w不变，杆转速是0的时候，和杆转速是无穷大的时候，
按你的公式，圆盘的动能是一样的，这可能吗？
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu Jul 11 23:51:49 2013, 美东) 提到:
转动能还是动能, 我只要把每一个支点的动能算出来求和不就行了? 何必管那么多?
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu Jul 11 23:54:49 2013, 美东) 提到:
是这吧, 你先说说我算的 "转动能" 是什么?
我可从没说过我转动能是 A*w^2, 你要爱这么理解我也没办法.
在这个帖子 http://www.mitbbs.com/article_t0/Mathematics/31210711.html 里我已经对你这一错误的理解进行了指正了, 结果你现在又绕了回去.
-------
再强调一遍, 我表述的意思是: 拉格朗日量中, 除了 A*w^2这一项以外, 其他项均与w
无关.
这是一个正确的说法, 并且是和欧拉角描述下的拉格朗日量的结果是符合的.
至于为什么不能用我的方法列拉格朗日方程, 那是因为 (w的积分, a, theta) 不能描
述陀螺的位型, 于是不能当做广义坐标.
-------
你总是说有交叉项. 我还是那句话, 你自己好好算算去, 别老想当然.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu Jul 11 23:58:38 2013, 美东) 提到:
我只能说你直观太差.
你一直反驳一直反驳其实都是自己想当然的认识, 你最好的 (也是最有效的) 反驳方式
, 就是用其他一种方法算出转动能, 然后将你那个转动能用w, a, theta表示出来, 如
果你算出来除了A*w^2外还有其他含w的项, 那不就是你对了?
不过我怀疑你现在连这个水平都没有了.
我可以给你保证的是, 若你算出来其他项也含w, 并附上计算过程, 我就可以指出你哪
错了.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri Jul 12 00:01:49 2013, 美东) 提到:
这里的拉格朗日量无非就是动能减势能
动能也不是必须要区分为 "平动能" 和 "转动能" 的概念, 我讨论这个刚体, 完全可
以将每个质点的速度做正交分解, 然后将动能累加 (事实上我列式子的时候就是这么做
的), 完全可以不提 "旋转" 的概念, 只考虑质点间的约束就行.
我一楼中使用 "转动惯量", 那是因为方便描述. 结果没想到居然给你们造成这么大的
理解上的困难.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri Jul 12 00:10:15 2013, 美东) 提到:
再简要说一下转动能的事情吧:
把圆盘上任一质点相对于质心的速度分为两个方向, 一个是垂直于圆盘的方向 (这个方
向的速度分量完全由杆上支点相对质心的速度决定), 另一个是圆盘内 (平行于圆盘)
的方向 (这一速度分量完全由圆盘上一固定参考点P相对质心的速度决定 (更具体地说,
是由P相对质心的速度在圆盘内的分量决定))
分开来看, 相当于是两部分转动能 ("单纯杆 (相对质心) 动", 和 "杆不动, 圆盘转"
这两部分), 这两部分没有所谓的交叉项, 可以直接相加.
更详细的说法请参见26楼.
☆─────────────────────────────────────☆
guvest (我爱你老婆Anna) 于 (Fri Jul 12 00:30:25 2013, 美东) 提到:
例子来了:
w不变，杆转速是0的时候，和杆转速是无穷大的时候，
按你的公式，圆盘的动能是一样的，这可能吗？
我只能说你直观太差.
你一直反驳一直反驳其实都是自己想当然的认识, 你最好的 (也是最有效的) 反驳方式
, 就是用其他一种方法算出转动能, 然后将你那个转动能用w, a, theta表示出来, 如
果你算出来除了A*w^2外还有其他含w的项, 那不就是你对了?
不过我怀疑你现在连这个水平都没有了.
我可以给你保证的是, 若你算出来其他项也含w, 并附上计算过程, 我就可以指出你哪
错了.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri Jul 12 00:47:28 2013, 美东) 提到:
你是不是不喜欢看别人回复?
我之前都反问过你了: 敢问我的转动能是只有A*w^2这一项吗?
你先把这个问题回答了.
另外, 严格来说, A不是转动惯量, 是转动惯量的二倍.
最后, 请你证明一下 "不同时用转动惯量和欧拉角, 那算出来的玩意肯定是错的"
-------
附, 还是那句话: 有本事自己算算去, 然后明确说说我差了哪些项, 或者多了哪些项.
别老在这打马虎眼. 我指出你的错误, 你却总是当没看见.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri Jul 12 00:48:55 2013, 美东) 提到:
或者我一步一步来吧.
你先给说说, 你怎么从我的方法里看出来 "w不变，杆转速是0的时候，和杆转速是无穷
大的时候，按我的公式，圆盘的动能是一样的" ?
我怎么看不出来?
☆─────────────────────────────────────☆
guvest (我爱你老婆Anna) 于 (Fri Jul 12 00:51:21 2013, 美东) 提到:
"其中A*w^2表示的是陀螺绕杆自转的转动能"
这个是你写的对不对?
.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri Jul 12 00:53:39 2013, 美东) 提到:
是我写的.
然后呢?
☆─────────────────────────────────────☆
guvest (我爱你老婆Anna) 于 (Fri Jul 12 01:00:08 2013, 美东) 提到:
你用了一个垂直于盘的坐标,对不对?
这个坐标轴本身是转动的,这部分能量写到哪儿了?
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri Jul 12 02:42:04 2013, 美东) 提到:
no, 我计算转动能的坐标仍然是静止的直角坐标系.
我这么说吧, 我是这么计算 "转动能" 的:
首先, 转动能的计算只需要考虑每个质点相对质心的速度.
对圆盘上每个质点来说, 其速度 (指在静止直角坐标系中相对于质心的速度) 可以分解
为两个方向, 一个是垂直于圆盘的方向, 另一个是在圆盘内的方向, 这是一个正交分解
.
垂直于圆盘的速度方向的值, 可以由支点 (即杆的末端) 相对重心的速度唯一决定, 这
一部分的速度对应的动能, 其实就相当于 <1. 质心不动, 2. "圆盘上每个质点在平行
于圆盘上方向的速度分量为0"> 时, 杆转动 (杆转动是指 支点在一个球面上移动 的这
种行为) 对应的转动能.
平行于圆盘的速度方向的值, 可以由圆盘上一个参考点P相对重心的速度来决定, 这一
部分的速度对应的动能, 相当于 <1. 质心不动, 2. 支点不动> 时, 圆盘以支点为轴线
转动, 对应的转动能.
这两部分动能的计算, 可以用转动惯量和角速度表达, 这样子我说起来就比较方便.
具体的你还是看下26楼, 那有附图.
☆─────────────────────────────────────☆
antee (蚂蚁) 于 (Fri Jul 12 03:29:46 2013, 美东) 提到:
你的速度的切向分量没算对
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri Jul 12 03:55:04 2013, 美东) 提到:
怎么个错法?
☆─────────────────────────────────────☆
antee (蚂蚁) 于 (Fri Jul 12 04:02:08 2013, 美东) 提到:
用定点当参考系，考虑一个平移转动的圆盘，取平移方向为X轴
动能的表示式应该是:
E=Sum[0.5mi*(vc+w*ri*sintheta)^2 + 0.5mi*(w*r*costheta)^2]
=Sum[0.5mivc^2+mivc*w*risintheta+0.5mi*(w*ri)^2]
这里因为vc处处相等，按照质心定义SUM[mirisintheta]=0
所以最后结果才是质心平移动能向+相对质心转动动能项
到了陀螺圆盘的情形，盘心vc引起的转动，导致盘上各点
的速度矢量和vc大小都不一样，每个速度矢可以分解为互相
垂直的三个分量，垂直盘面，这个对应翻动，
径向分量，和中心在该方向分量相等，和切向分量，这个导致混合，因为大小对位置角
度的依赖，不能靠质心定义消除，这个直接导致交叉项不为零，所以你的表达式有问题
问题的本质，是转动轴和惯量主轴不重合，必然导致动能在各个轴之间震荡
你仔细分析一下不在支撑轴垂直面上(比如转45度）位置，在进动和章动下
的速度矢，假设盘不转，就知道不能和切向量简单平方相加了
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l63 (l63) 于 (Fri Jul 12 04:26:21 2013, 美东) 提到:
能否对你的公式里的符号加一些说明?
另外, 你似乎没理解我是怎么分解的.
我不是按你说的方法分解的.
我是把圆盘上一点的速度先分为了两部分: 1. 质心速度部分 2. 该点相对质心的速度.
其中第一部分只与平动能有关, 与转动能无关.
第二部分与平动能无关, 只与转动能有关.
第二部分实际上相当于考虑 "质心固定不动" 下的总动能.
我将第二部分对应的速度分解为了沿圆盘方向的 和 垂直圆盘方向的.
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l63 (l63) 于 (Fri Jul 12 04:27:42 2013, 美东) 提到:
换句话说, 我的 "切向分量" 只是指圆盘上一点相对于质心的速度在圆盘内的分量.
你似乎漏看了 "相对于质心" 这几个字.
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l63 (l63) 于 (Fri Jul 12 04:35:29 2013, 美东) 提到:
你可以先考虑 "质心不动" 的情形下的动能 (即转动能). 再考虑质心运动的情形.
质心运动, 无非就是多了个平动动能, 平动动能与w是无关的.
你这么分解只会给你自己带来麻烦. 无助于你发现 "没有叉乘项" 这一事实.
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我吐个槽: 你们最喜欢的就是直接断言 "交叉项" 不为零. 实际上就算你们的方法麻烦
, 你们算到最后也会发现各种所谓的 "交叉项" 就消掉了 ( 事实上, 会出现 "消项"
这回事, 就已经说明你列方程的时候想法不够本质). 但是你们既选不到好的角度看问
题, 又不愿意把自己那麻烦的方法一步步算到最后看看到底有哪些项, 只会想当然的断
言一些 "自己都未确信的结论". 这种态度很没意思.
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antee (蚂蚁) 于 (Fri Jul 12 04:54:28 2013, 美东) 提到:
问题是质心在转动，所以你的分析就错了，你根本分不清无穷小转动和平动的区别
这个交叉项为零的条件就是刚体平动，处处相等才导致相消，真理在细节里，别yy
这个问题仍然可以简化成质心平动+相对质心的转动，但是，这种简化下转动轴不沿杆
一个简单的例子，盘不转，质心以速度V倒下动能是多少？
盘进一步简化成俩对称质点，距离2R,杆长R,和杆/竖直面成45度，
质心速度V倒下，算动能，换成90度，再算，加个小转速再算
不会走就想飞了
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l63 (l63) 于 (Fri Jul 12 04:58:24 2013, 美东) 提到:
质心以速度V倒下的时候, 当然有转动能啊.
你难道以为我没考虑转动能?
这一部分转动能, 在我的方法中, 对应于 "杆相对质心转动产生的转动能", 依旧和w无
关.
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简要来说, 你们不仔细看我写的东西, 首先把我yy为一个连走路都走不好的婴儿.
结果你们看到这个 "婴儿" 会跑了, 就开始抨击这个婴儿跑的姿势太丑.
但事实是, 无论美丑, 这个婴儿确实在跑.
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l63 (l63) 于 (Fri Jul 12 04:59:16 2013, 美东) 提到:
更可笑的是, 你们抨击 "这个婴儿跑的丑" 的人, 其中大部分自己跑的也不怎么好看,
而且经常绊倒.
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antee (蚂蚁) 于 (Fri Jul 12 05:04:34 2013, 美东) 提到:
质心不动下的动能意味着你以质心为参考系来考虑这部分动能，
可是这个系统里质心不是惯性系，你自然悲剧了
刚体平动+转动的例子，质心只是平动，那是个惯性系，你就可以幸福考虑转动能了
这里你还是多废点劲
度.
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antee (蚂蚁) 于 (Fri Jul 12 05:11:54 2013, 美东) 提到:
当你取质点的速度矢和质心速度矢的差速度矢之后，
你假定这个差量只有切向分量必然是w*r,not the case.
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antee (蚂蚁) 于 (Fri Jul 12 05:16:43 2013, 美东) 提到:
你算两个质点的例子，加个w的转动，在看看有没有交叉项？
转动惯量只有在轴过主轴才能对角化，你这个肯定错了，
如果你分析出来没有，再看看你的分析
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l63 (l63) 于 (Fri Jul 12 05:24:04 2013, 美东) 提到:
呵呵, 我觉得你可能是不会证明这个显而易见的事实:
"刚体动能可以分解为随质心平动的动能+相对质心转动的动能" 这两部分.
我还是给你证明一下吧:
设初始时刻, 质心位置是r0, 刚体上任意一点位置r, 对应的密度是rho(r)
(注意, 这里r是指矢量, 是一个坐标组, 其实就相当于n维向量, 用r 是为了表示其状
态是 "初始状态", 和下面要提到的x做区分)
x0=x0(r0,t) 表示质心的运动轨迹 (依赖于初始值r0, 时间t)
x=x(r,t) 表示刚体上初始时刻位置为r的点的运动轨迹 (依赖于r, t, t=0时x=r)
则质心的定义意味着下式成立:
int (x-x0) rho(r) dr = 0
两端对 t求微分得到:
int (v-v0) rho(r) dr = 0
其中v=v(r,t) 表示陀螺上初始位置在r的点在t时刻的速度. v0=(r0,t) 表示质心在t时
刻的速度.
而陀螺总动能的表达式是什么呢?
是1/2( int v^2 rho(r) dr )
上式 =1/2( int 1/2 (v-v0 + v0)^2 rho(r) dr)
= 1/2( int (v-v0)^2 rho(r) dr + 2 * int v0(v-v0) rho(r) dr + int v0^2 rho(r
) dr )
其中 1/2 int (v-v0)^2 rho(r) dr 是转动能 (只与质点相对质心的速度有关)
1/2 int v0^2 rho(r) dr 是平动能 (只与质心速度有关, 与质点相对质心的速度无关)
中间项 int v0(v-v0) rho(r) dr = 0, 这是因为 int (v-v0) rho(r) dr = 0
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连这个都不会, 我只能说你缺乏最基本的刚体力学知识.
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l63 (l63) 于 (Fri Jul 12 05:26:26 2013, 美东) 提到:
什么叫两个质点的例子?
你能描述清楚点不?
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l63 (l63) 于 (Fri Jul 12 05:29:12 2013, 美东) 提到:
麻烦你先读懂别人的话好吧?
我是说, 任意一点相对重心的速度 (你称之为速度差量), 在圆盘上的投影, 必在 "该
点与重心连线方向" 的垂向上 (这个够显然吧)?
该速度垂直于圆盘的分量对应的动能, 已经考虑在杆转动的转动能中了, 与w无关!
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l63 (l63) 于 (Fri Jul 12 05:30:06 2013, 美东) 提到:
你意思 "杆的方向加圆盘内任两个正交方向构成的三个轴" 不是主轴?
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antee (蚂蚁) 于 (Fri Jul 12 07:50:18 2013, 美东) 提到:
切向分量不是简单的w*r
退一步考虑
假设盘完全静止，瞬间盘质心获得一个速度Vc
因为支点固定，这个速度意味着盘在做某种转动
转轴唯一的要求是垂直Vc,过支点O,方向都不确定
假设这个方向Ax和OC方向，也就是盘的法向成theta角
可以算出来角速度W,
考虑系统动能，质心有1/2MVc^2
剩下转动有1/2I*W^2,这里的I是盘对Ax的转动惯量，
如果分解，这个W可以分解成平行盘方向的翻转分量w1,
和自转分量w2,动能可以写成
翻转部分1/2Ib*w1^2 + 自转部分1/2IA*w2^2
如果开始就有自转w0
自转部分，因为速度Vc引起的转动其实是总能量是1/2IA*(w0+w2)^2
这里自然有一个IA*w0*w2的交叉量
你要愿意，可以把w0+w2当成自转号称没有交叉量
但是这个东西和初始状态的w0关系就模糊了，意义不大
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antee (蚂蚁) 于 (Fri Jul 12 07:53:59 2013, 美东) 提到:
转轴在静止参考系过支点不过质心
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l63 (l63) 于 (Fri Jul 12 21:59:11 2013, 美东) 提到:
建议你先自己看一下标准的刚体力学方法是怎么用欧拉角处理陀螺问题的.
静止参考系的轴当然不是主轴, 但是我们要用静止参考系下的物理量把主轴坐标系中的
物理量表示出来, 进一步利用主轴坐标下的转动能表达式.
能量是我如上说的这么算的, 这个和静止参考系的坐标是不是主轴坐标根本没有半毛钱
关系, 好吧?
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l63 (l63) 于 (Fri Jul 12 22:16:20 2013, 美东) 提到:
你的推导我不看了, 因为你的最终过程似乎没得到什么有意思的东西.
不过你的结论实在有点可笑.
你开始说 "盘完全静止" 推导半天得到一个1/2 IA*(w2)^2
后来又说 "如果开始就有自转w0" 则会变成 1/2 IA *(w0+w2)^2
请问你这里的w2是什么东西?
另外, w0+w2 和 w0的关系模糊?
"w0+w2" = "w0" + "w2"
这个式子不够清楚?
其实就是 "初值" + "变化量" = "所求值"
你居然说这就变 "模糊" 了, 很搞笑.
况且, w0+w2不就是某一时刻的沿杆自转角速度吗? 你单单把w2拿出来是什么意思? 是
不是 "盘子以w0为初始状态下的沿杆自转角速度 减去 w0这个初始状态后 的值"? 你不
觉得很蛋疼? 你自己能说服你自己么?
自己把同一个物理量拆成两部分然后说 "有交叉项" 这太可笑了.
按你的逻辑, 我可以claim "所有的物理公式含平方项都是错的, 因为没有交叉项, 我
们可以把其中任意一个物理量随意拆成两份, 然后再乘开, 就可以发现有交叉项了"
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l63 (l63) 于 (Fri Jul 12 22:27:05 2013, 美东) 提到:
另, 你第一句就错了.
而且你后面说了半天也不是在claim你第一句的理由. 所以我不知道你第一句扔一个 "
切向分量不是简单的w*r"
作为对应, 我只能把我认为正确的东西重复一遍:
考虑质心静止的情况 (质心记为C), 这时, 圆盘上任意一点P的速度方向必然垂直CP,
于是该速度方向在盘内的分量 (或称 "投影") 必然垂直于CP (也即所谓的 "切向分量"
), 该速度分量的大小可以完全由 CP的长度 (即r) 和一个角速度量w决定.
原因如下:
任取盘上两点P1,P2, 可知P1到P2的距离是一定的, 但是P1的速度在P1P2方向上的投影
只与P1的速度在圆盘内的投影有关, 对P2有同样的结论. 所以此时根本无需考虑垂直于
盘方向上的速度方向.
如果你说我这个结论是错的. 那我只能说你连基本的二维刚体旋转的常识都没有. 你如
上的断言, 相当于你在claim: "固定圆心的二维旋转圆盘, 其上某一点 (与圆心距离为
r)的速度大小并不是简单的w*r"
对于你这一说法, 我只能说 "可笑", 不屑于反驳. |
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